Vestibular
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- Progressões Aritméticas
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Questões resolvidas de Progressão aritmética
Lista de questões resolvidas sobre progressão aritmética de vestibulares anteriores.
Exercícios resolvidos de P.A
1) Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa?
*A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5
SOLUÇÃO:
Temos: a1 = 7/5 e r = 1 ? 7/5 = 5/5 ? 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5.
Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo an:
an = a1 + (n ? 1).r = 7/5 + (n ? 1).(-2/5)
an = 7/5 ? 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) ?2n/5 = 9/5 ?2n/5 = (9 ? 2n)/5
Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo an:
an = a1 + (n ? 1).r = 7/5 + (n ? 1).(-2/5)
an = 7/5 ? 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) ?2n/5 = 9/5 ?2n/5 = (9 ? 2n)/5
A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então:
Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 ? 2n)/5].(n/2) = [(16 ? 2n)/5].(n/2)
Sn = (16n ? 2n2) / 10
Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 ? 2n)/5].(n/2) = [(16 ? 2n)/5].(n/2)
Sn = (16n ? 2n2) / 10
Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem:
(16n ? 2n2) / 10 < 0
(16n ? 2n2) / 10 < 0
Como o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o numerador deve ser negativo. Logo, deveremos ter:
16n ? 2n2 < 0
16n ? 2n2 < 0
Portanto, n(16 ? 2n ) < 0
Ora, como n é o número de termos, ele é um número inteiro e positivo. Portanto, para que o produto acima seja negativo, deveremos ter:
16 ? 2n < 0, de onde vem 16 < 2n ou 2n > 16 ou n > 8.
Ora, como n é o número de termos, ele é um número inteiro e positivo. Portanto, para que o produto acima seja negativo, deveremos ter:
16 ? 2n < 0, de onde vem 16 < 2n ou 2n > 16 ou n > 8.
Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9.
Portanto, a alternativa correta é a letra A.
Portanto, a alternativa correta é a letra A.
2) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale:
A) 8 B) 12 C) 15 *D) 24 E) 33
SOLUÇÃO:
Ora, se x + 1, 2x , x2 ? 5 formam uma P.A. , podemos escrever:
2x ? (x + 1) = (x2 ? 5) ? 2x
2x ? x ?1 + 5 ? x2 + 2x = 0
3x + 4 ? x2 = 0
Ora, se x + 1, 2x , x2 ? 5 formam uma P.A. , podemos escrever:
2x ? (x + 1) = (x2 ? 5) ? 2x
2x ? x ?1 + 5 ? x2 + 2x = 0
3x + 4 ? x2 = 0
Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica:
x2 ? 3x ? 4 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = - 1.
x2 ? 3x ? 4 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = - 1.
Assim, teremos:
x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x2 ? 5 ou substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que são as medidas dos lados do triângulo. Portanto, o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será igual a 5+8+11 = 24.
O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores negativos para os lados do triângulo, o que é uma impossibilidade matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são necessariamente positivas. Portanto, a alternativa correta é a letra D.
x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x2 ? 5 ou substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que são as medidas dos lados do triângulo. Portanto, o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será igual a 5+8+11 = 24.
O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores negativos para os lados do triângulo, o que é uma impossibilidade matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são necessariamente positivas. Portanto, a alternativa correta é a letra D.
3) (UFBA ) Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá , de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.
SOLUÇÃO:
Teremos que:
0 hora o relógio baterá 12 vezes. (Você não acha que bateria 0 vezes, não é?).
1 hora o relógio baterá 1 vez
2 horas o relógio baterá 2 vezes
3 horas o relógio baterá 3 vezes
......................................................
0 hora o relógio baterá 12 vezes. (Você não acha que bateria 0 vezes, não é?).
1 hora o relógio baterá 1 vez
2 horas o relógio baterá 2 vezes
3 horas o relógio baterá 3 vezes
......................................................
12 horas o relógio baterá 12 vezes.
Logo, teremos a seguinte sequência:
(12, 1, 2, 3, 4, 5, ... , 12)
(12, 1, 2, 3, 4, 5, ... , 12)
A partir do segundo termo da sequência acima, temos uma PA de 12 termos, cujo primeiro termo é igual a 1, a razão é 1 e o último termo é 12.
Portanto, a soma dos termos desta PA será:
S = (1 + 12).(12/2) = 13.6 = 78
S = (1 + 12).(12/2) = 13.6 = 78
A soma procurada será igual ao resultado anterior (a PA em vermelho acima) mais as 12 batidas da zero hora. Logo, o número x será igual a x = 78 + 12 = 90.
Logo, o dobro da terça parte de x será: 2. (90/3) = 2.30 = 60, que é a resposta do problema proposto.
Logo, o dobro da terça parte de x será: 2. (90/3) = 2.30 = 60, que é a resposta do problema proposto.
4) (UFBA) Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é 2. Calcule a razão dessa progressão.
SOLUÇÃO:
Temos: a1 = 1 e an + n = 2, onde an é o n-ésimo termo.
Fazendo n = 2, vem: a2 + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a2 = 0.
Daí, r = a2 ? a1 = 0 ? 1 = -1, que é a resposta procurada.
Fazendo n = 2, vem: a2 + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a2 = 0.
Daí, r = a2 ? a1 = 0 ? 1 = -1, que é a resposta procurada.
5 - A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é:
A) 64376 B) 12846 C) 21286 D) 112 *E) 61376
SOLUÇÃO:
Números com 3 algarismos: de 100 a 999.
Primeiro múltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que é igual a 8x13)
Maior múltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que é igual a 8x124)
Primeiro múltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que é igual a 8x13)
Maior múltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que é igual a 8x124)
Temos então a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992).
Da fórmula do termo geral an = a1 + (n ? 1) . r poderemos escrever:
992 = 104 + (n ? 1).8, já que a razão da PA é 8.
Daí vem: n = 112
Da fórmula do termo geral an = a1 + (n ? 1) . r poderemos escrever:
992 = 104 + (n ? 1).8, já que a razão da PA é 8.
Daí vem: n = 112
Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente:
Sn = S112 = (104 + 992).(112/2) = 61376
A alternativa correta é portanto, a letra E.
Sn = S112 = (104 + 992).(112/2) = 61376
A alternativa correta é portanto, a letra E.
6) (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é:
A) 8a B) 7a C) 6a D) 5a E) 4a
Solução:
dados do problema:
a1 = 13 r = - 6 an = 13 n = ?
Substituindo na fórmula do termo geral:
an = a1 + (n-1)r
-13 = 23 + (n - 1).(-6)
-13 - 23 = -6n + 6
-36 - 6 = -6n
-42 = -6n Vamos multiplicar os dois lados por (-1)
6n = 42
n = 42/6
n = 7 Resposta certa letra "B
7) (UCS) O valor de x para que a seqüência (2x, x+1, 3x) seja uma PA é:
A) 1/2 B) 2/3 C) 3 D) 1/2 E) 2
Solução:
Dados do problema:
a1= 2x
a2= x+1
a3= 3x
Neste exercício devemos utilizar a propriedade de uma PA qualquer. Sabemos que o termo da frente é igual ao termo de trás mais a razão. Ou seja:
a2 = a1 + r isolando "r" r = a2 - a1
a3 = a2 + r isolando "r" r = a3 - a2
- Como temos "r" igualado nas duas equações, podes igualar uma a outra, ou seja:
a2 - a1 = a3 - a2
Agora, substituindo pelos valores dados no enunciado:
(x + 1) - (2x) = (3x) - (x + 1)
x + 1 - 2x = 3x - x - 1
x - 2x - 3x + x= -1 - 1
-3x = -2 Multiplicando ambos os lados por (-1)
3x = 2
x = 2/3 Resposta certa letra "B"
8) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=n²+2n. O valor do 13º termo desta PA é:
A) 195 B) 190 C) 27 D) 26 E) 25
Solução:
Para calcularmos o 13º termo desta PA, devemos saber o valor do primeiro termo (a1) e o valor da razão, para isso vamos entender o que ele quis dizer com a fórmula dada.
À primeira vista você pode achar que se substituirmos "n" por 13 teremos o valor do 13º termo. Aí está o pega ratão, substitua e veja a resposta da letra "A" (pega ratão).
O que devemos fazer é substituir primeiro "n" por 1, isso dá
S1=12+2.(1)
S1=3
Como S1 significa a soma de todos os termos até a1, ou seja, como não tem nenhum antes de a1 é o próprio valor dele (a1=3)
Se substituirmos "n" por 2, temos:
S2=22+2.(2)
S2=8
Agora tem que se ligar. S2 significa a soma de todos os termos até a2, então é igual à a1+a2. Como já sabemos o valor de a1, logo:
S2=a1+a2=8
3+a2=8
a2=5
Se a1=3 e a2=5 a razão só pode ser 2. Agora podemos achar o 13º termo, é só substituir na fórmula do termo geral:
an=a1+(n-1)r
a13=3+(13-1)2
a13=3+24
a13=27 Resposta certa: Letra "C"
À primeira vista você pode achar que se substituirmos "n" por 13 teremos o valor do 13º termo. Aí está o pega ratão, substitua e veja a resposta da letra "A" (pega ratão).
O que devemos fazer é substituir primeiro "n" por 1, isso dá
S1=12+2.(1)
S1=3
Como S1 significa a soma de todos os termos até a1, ou seja, como não tem nenhum antes de a1 é o próprio valor dele (a1=3)
Se substituirmos "n" por 2, temos:
S2=22+2.(2)
S2=8
Agora tem que se ligar. S2 significa a soma de todos os termos até a2, então é igual à a1+a2. Como já sabemos o valor de a1, logo:
S2=a1+a2=8
3+a2=8
a2=5
Se a1=3 e a2=5 a razão só pode ser 2. Agora podemos achar o 13º termo, é só substituir na fórmula do termo geral:
an=a1+(n-1)r
a13=3+(13-1)2
a13=3+24
a13=27 Resposta certa: Letra "C"
9) Quantos meios devemos interpolar entre 112 e 250 para termos uma PA de razão 23?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Solução:
dados do problema:
a1=112 an=250 r=23
Devemos utilizar a fórmula do termo geral de uma PA:
Aqui que o bicho pega, meu amigo. A alternativa "E" tá te esperando, pedindo pra tu marcá-la.
7 não é a resposta, é o número total de termos.
Devemos retirar desta contagem os termos 112 e 250, pois é pedido quantos termos devem ser inseridos "ENTRE" estes dois.
Portanto, se no total temos 7 termos, excluindo dois da contagem, temos 5 termos para inserir entre o 112 e o 250.
A resposta certa: Letra "C"
10) Determine o número de termos de uma P.A. em que o primeiro e o último termo são respectivamente, 15 e 223. Adote razão igual a 8 e use a fórmula do termo geral.
Solução:
a1 = 15?????223 = 15 + (n ? 1) . 8
an = 223????.223 = 15 + 8n ? 8
r = 8??????..8n = 223 ? 15 + 8
n = ???????..8n = 216
???????.n = 216/8 ou 27
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