Progressão aritmética exercícios resolvidos
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Progressão aritmética exercícios resolvidos





Exercícios resolvidos P.G

1) Dadas as sucessões P.G. ( x, y, 147 ) e P.A. ( 5x, y, 27 ), ambas crescentes, quais os valores de x e de y?
O termo y é média geométrica da P.G. e média aritmética da P.A., então matematicamente podemos igualar as duas médias assim:
A variável x pode assumir, portanto os valores 3 e 9,72.
Para x = 9,72 temos a P.A. ( 48,6, y, 27 ) que não é aceitável pois o enunciado especifica uma P.A. crescente, então não podemos considerar o valor 9,72.
Para x = 3 temos a P.A. ( 15, y, 27 ) e a P.G. ( 3, y, 147 ) que estão dentro dos padrões do enunciado.
Como y é um termo médio, tanto da P.A., quanto da P.G., vamos calculá-lo na P.A., pois é mais simples:
O valor de x é 3 e o valor de y é 21.


2) Qual é a soma dos termos da P.G. ( 9, 27, ..., 19683)?

Dividindo o segundo termo da P.G. pelo primeiro, obteremos a sua razão:
Os dados que dispomos são:
Primeiramente precisamos obter o número de itens da sucessão:
Agora já dispomos de todos os dados necessários ao cálculo da soma dos termos:
Assim sendo:
A soma dos termos da P.G. ( 9, 27, ..., 19683) é igual a 29520.

3) O produto dos 7 termos de uma P.G é igual a 4586471424. Qual é o 4º termo?
Se representarmos todos os termos desta progressão em função de a4 teremos:
P.G. ( a4q-3, a4q-2, a4q-1, a4, a4q, a4q2, a4q3 ).
A representação do produto dos termos será então:
Perceba que na expressão acima q-3 anula q3, assim como q-2 anula q2 e q-1 anula q, deixando a mesma apenas com a variável a4. Isto ocorre apenas porque utilizamos o termo central como referência. Se tivéssemos escolhido qualquer outro termo, como o a3, por exemplo, para representarmos todos os outros termos em função dele, isto não iria ocorrer pois ele não é o termo central. Em função disto é fácil concluir que se a progressão tivesse um número par de termos, tal técnica não poderia ser utilizada.
Após esta breve explicação vamos continuar a resolução do exercício:
Portanto:
O quarto termo é igual a 24.
4) Interpole 3 meios geométricos positivos entre 2 e 162.
P.G (2,_,_,_ 162)
a1 = 2    an = 162         n = 5         q=?
vamos usar aqui a fórmula do termo geral para descobrir a2, a3 e a4:
162 = 2 . q4
q4 = 81
q = 3                   P.G (2, 6, 18, 54, 162)

5) (UE ? PA) Um carro, cujo preço à vista é R$ 24 000,00, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o restante em 5 parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao pagar a entrada, foi informado que a segunda parcela seria de R$ 4 000,00 e a quarta parcela de R$ 1 000,00. Quanto esse cliente pagou de entrada na aquisição desse carro?

Temos:

an = a1 * q n?1
a2 = 4000
a4 = 1000
a2 = a1 * q
4000 = a1 * q
a1 = 4000 / q 
a4 = a1 * q3
1000 = 4000 / q * q3
1000 / 4000 = q3 / q
1 / 4 = q2
?1/4 = ?q2
q = 1/2
a1 = 4000 / 1/2
a1 = 4000 * 2
a1 = 8000
1ª prestação: R$ 8 000,00
2ª prestação: R$ 4 000,00
3ª prestação: R$ 2 000,00
4ª prestação: R$ 1 000,00
5ª prestação: R$    500,00
Soma total das prestações: R$ 15 500,00
Entrada (valor do carro menos o total das prestações)
R$ 24 000,00 ? R$ 15 500,00 = R$ 8 500,00
O valor da entrada foi de R$ 8 500,00




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