Hi7.co » vestibular.hi7.co

Vestibular

Progressões Aritméticas

Para entendermos esta matéria, vamos dar uma olhada no sentido do nome "Progressões Aritméticas".

"Progressão" é tudo aquilo que progride, que vai para frente, que muda. Como estamos falando de matemática, certamente será com números. Uma PROGRESSÃO é uma sucessão de números um após o outros (Ex. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... - ou também, 1, 5, 23, -25, 20, 20, 7,...). Ou seja, quando falamos simplesmente PROGRESSÃO, estamos nos referindo a alguns números colocados um após o outro sem, necessariamente, possuir uma lógica em sua distribuição.

E para ser uma PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA), o que deve acontecer?

Uma progressão aritmética é uma sucessão de números, um após o outro, que seguem um "ritmo definido".

Veja a progressão abaixo:

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...)

Esta progressão segue um ritmo definido, mostrado na figura abaixo:

Ou seja, temos um ritmo que é o de SOMAR DUAS UNIDADES a cada elemento que acrescentamos. Este é o ritmo que estamos falando, somar sempre o mesmo número a cada elemento acrescentado.

Como ela é uma progressão numérica que segue um "ritmo definido" de acréscimo em relação ao número anterior, ela pode ser classificada como uma PROGRESSÃO ARITMÉTICA CRESCENTE, pois note que sempre irá crescer.

Veja outro exemplo:

(16, 13, 10, 7, 4, 1, -2, -5...)

Esta também pode ser classificada como uma PA, pois segue um ritmo definido. O qual, diferente da anterior, é de decréscimo. Por ser assim, ela é chamada de PROGRESSÃO ARITMÉTICA DECRESCENTE.

Obs.: Só podemos chamar de P.A. se o ritmo que a seqüência seguir for de acréscimo ou de decréscimo. Se tiver um ritmo diferente não será uma PA. Por exemplo, a seqüência (1, 2, 4, 8, 16, ...) tem um ritmo, sempre dobrar o próximo elemento, mas não é uma PA. :)

Vamos fazer um pequeno exercício agora:

---

Vamos verificar se as progressões abaixo são P.A., quando for diga se é crescente ou decrescente:

(a) (100, 101, 109, 110, 119, 120...)
(b) (10, 20, 30, 40, 50, 60...)
(c) (-15, -10, -5, 0, 5, 10...)

(d) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...)
(e) (10, 6, 2, -2, -6...)
(f) (16, 25, 36, 43, 52, 61...)

RESPOSTAS:

(a) Não é uma PA, pois do primeiro para o segundo termo houve um acréscimo de 1 unidade, e do segundo para o terceiro houve um acréscimo de 8 unidades. Para ser PA devemos ter o acréscimo sempre constante.
(b) É uma PA, pois o ritmo se manteve constante do início ao fim. Sempre somando 10, ou seja, CRESCENTE.
(c) É uma PA, pois o ritmo de somar 5 manteve-se constante, ou seja, é uma PA CRESCENTE.
(d) PA CRESCENTE
(e) PA DECRESCENTE
(f) NÃO É PA

Termo Geral

Para um melhor estudo de PA's, vamos agora dar "nome aos bois". Como exemplo, vamos usar a progressão dada anteriormente:

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...)

O primeiro termo desta PA é 1, o segundo é 3, e assim por diante. Para não desperdiçar lápis e papel, cada termo de uma PA tem seu nome: o primeiro é chamado, normalmente, de a₁, o segundo de a₂, o terceiro de a₃ e assim sucessivamente. Então, nesta PA:

a1 = 1 a2 = 3 a3 = 5 a4 = 7 ...

O número que aparece no nome do elemento é a "ordem" dele. Ou seja, a1 é oprimeiro, a2 é o segundo, etc.

Quando temos um termo que não sabemos sua posição, chamamos de a_n, onde "n" é a posição ocupada pelo termo em questão. Este é o termo geral, pois pode ser qualquer um.

Voltando ao exemplo.

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...)

Como é uma PA, segue um "ritmo definido" (ritmo este que é a soma de 2 unidades a cada elemento que acrescentamos). Este ritmo também tem um nome: se chama "RAZÃO" e é representada por "r"minúsculo. Portanto, o segundo termo será a soma do primeiro mais a razão; o terceiro será a soma do segundo mais a razão...

Vemos no nosso exemplo que cada próximo termo da progressão é acrescido de 2 unidades, portanto r = 2.

QUADRO 1 a1 = 1 1= 1 a2 = 3 1= 1 + 2 a3 = 5 1= 1 + 2 + 2 a4 = 7 1= 1 + 2 + 2 + 2 a5 = 9 1= 1 + 2 + 2 + 2 + 2 ... ...

QUADRO 2 a1 = 1= a1 a2 = 1= a1 + r a3 = 1= a1 + r + r a4 = 1= a1 + r + r + r a5 = 1= a1 + r + r + r + r ... ...

No quadro 2 acima, vemos que cada termo que aumentamos, colocamos mais uma vez a soma da razão. Vamos rescrever os valores do quadro 2:

QUADRO 2
a1 =	1= a1	a1= a1 + 0.r1 a2 = a1 + 1.r a3 = a1 + 2.r a4 = a1 + 3.r a5 = a1 + 4.r ...
a2 =	1= a1 + r
a3 =	1= a1 + r + r
a4 =	1= a1 + r + r + r
a5 =	1= a1 + r + r + r + r
...	...

Note, na coluna destacada, que sempre irá aparecer o primeiro termo (a₁) somado com algumas vezes a razão. Há uma relação entre a posição do termo e o número de vezes que a razão aparece (os números grifados em verde no quadro), tente achar esta relação e diga, como seria o termo a₂₂?

Isso mesmo, a₂₂= a₁ + 21.r.

Ou seja, se no terceiro termo temos 2 vezes a razão, no quarto termo temos 3, etc. A relação entre tais valores é que o número de vezes que a razão irá aparecer é uma unidade a menos que a ordem do elemento.

Portanto, se quisermos achar o termo de ordem "n" (termo genérico), iremos somar o a₁ com (n-1) vezes a razão. Podemos mostrar uma "fórmula" para calcular qualquer termo de uma P.A.:

an = a1 + (n - 1).r

Obs.: Uma PA é dita estacionária quando sua razão vale ZERO.

---

Exercícios:

Qual a razão em cada uma das progressões abaixo?

(A) ( 1, 2, 3, 4, ... )
(B) ( 10, 17, 24, ... )
(C) ( -5, -4, -3, ...)
(D) ( 10, 1, -8, ...)
(E) ( -5, -10, -15, ...)
(F) ( 1/2, 1, 3/2, ...)
(G) ( x, x+2, x+4, ...)

1) ) O sétimo termo de uma PA é 20 e o décimo é 32. Então o vigésimo termo é

(A) 60
(B) 59
(C) 72
(D) 80
(E) 76

- Informações do problema: a7=20 a10=32 a20=? - Primeiro vamos colocar todos termos conhecidos na fórmula do termo geral: a7=a1+6r a10=a1+9r 20=a1+6r 32=a1+9r - Formamos um sistema de equações e resolvemos: 20=a1+6r 32=a1+9r Vamos isolar o termo a1na primeira equação a1=20-6r Agora vamos substituir este valor na segunda equação 32=20-6r+9r 32-20=9r-6r 12=3r r=12/3 r=4 Agora sabemos o valor da razão, podemos substituir na primeira equação e achar o valor do a1. 20=a1+6·4 20=a1+24 a1=-24+20 a1= -4 Pronto!! Sabemos a razão e o primeiro termo. O exercício pedo o vigésimo. Vamos aplicar a fórmula do termo geral. a20=a1+19r a20=-4+19·4 a20=-4+19·4 a20=72 Resposta certa letra "C".

---

2) O único valor de x que verifica a equação (x-2)+(x-5)+(x-8)+...+(x-47)=424 é

(A) 51
(B) 41
(C) 31
(D) 61
(E) 71

- Note que temos uma PA no lado esquerdo da equação com: a1= (x-2) a2= (x-5) ... - Sabemos que é uma PA pois a cada termo estamos somando uma mesma constante (a razão, que no caso é -3). Para descobrir esta razão simplesmente fazemos: r=a2-a1=(x-5)-(x-2) r=x-5-x+2 Menos com menos dá mais, por isso temos +2 r=-5+2 X com -X se anulam r=-3 Esta é a razão - Como os termos estão sendo somados, devemos usar a fórmula da soma dos termos de uma PA. Já sabemos o primeiro termo, o último termo e a razão, mas para usar a fórmula da soma devemos saber o número de termos (ou seja, "n"). Para calcularmos vamos aplicar a fórmula do termo geral no último termo: an=a1+(n-1)r Substituindo por seus valores (x-47)=(x-2)+(n-1)·(-3) x-47-x+2= -3n+3 -45-3= -3n -3n=-48 n=48/3 n=16 - Agora sim podemos usar a fórmula da soma: Sn=(a1+an)*n/2 Sn=[(x-2)+(x-47)]*16/2 Sn=(2x-49)*8 Sn=16x-392 - Vamos voltar na equação do exercício e substituir todo lado esquerdo da equação pelo valor calculado: (x-2)+(x-5)+(x-8)+...+(x-47)=424 16x-392=424 16x=424+392 16x=816 x=816/16 x=51 Resposta certa, letra "A"

---

3) (PUC-RS) Na seqüencia definida por , a soma dos 10 primeiros termos é igual a

(A)

(B)

(C) 53
(D) 265
(E) 53

- O exercício dá a fórmula do termo geral de uma PA e pede S10. Utilizaremos a fórmula da soma, mas para usá-la devemos saber a1e a10. Estes valores iremos calcular com a fórmula dada pelo exercício: - Agora é só aplicar a fórmula da soma: Resposta certa, letra "B".

---

4) (UFRGS) Os números que exprimem o lado, a altura e a área de um triângulo equilátero estão em PA, nessa ordem. A altura desse triângulo mede

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

- Para resolver este exercício devemos ter um conhecimento de Geometria Plana. Este capítulo iremos estudar mais adiante. Mas vamos chamar o lado do triângulo de "L", a fórmula da altura de um triângulo equilátero é e a área de um triângulo equilátero é . Então, pelo que diz o problema, temos a seguinte PA: - O problema pede o valor da altura, e para isso devemos antes achar o valor de L. Vamos utilizar a propriedade fundamental de uma PA: Chegamos em uma equação incompleta do segundo grau. Para facilitar os cálculos, coloquei o L em evidência. Agora é só calcular as raízes, no caso são e . Como não podemos ter o valor de L como sendo ZERO, então vale só a segunda resposta. O exercício pede a altura do triângulo, vamos aplicar a fórmula da altura (h): Nas resposta o problema coloca o 2 em evidência, assim sendo: Resposta certa, letra "C".

---

5) (UFRGS) A PA tem razão . A razão da progressão definida por é

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

- Para calcularmos a razão da segunda PA devemos saber no mínimo dois termos em sequência desta PA. Vamos então calcular o primeiro e o segundo. bn=a5n então b1=a5·1 b1=a5 bn=a5n então b2=a5·2 b2=a10 Agora que já sabemos que b1=a5 e b2=a10 vamos ver quanto vale a5 e a10 : a5=a1+(5-1)r a5=a1+4r então b1=a1+4r a10=a1+(10-1)r a10=a1+9r então b2=a1+9r Para calcularmos a razão da PA "b" (vamos chamar de R maiúsculo) é só calcularmos b2-b1 : b2-b1=a1+9r-(a1+4r) b2-b1=5r R=5r Resposta certa, letra "C".

---

6) (ULBRA) O número de termos de uma PA, cuja razão é 9, o primeiro termo é 4 e o último 58, é

(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7

- Informações: r=9 a1=4 an=58 n=? - Vamos somente aplicar a fórmula do termo geral: an=a1+(n-1)r 58=4+(n-1)9 58-4=9n-9 54+9=9n 63=9n n=63/9 n=7 Resposta certa, letra "E".

---

7) A soma dos 40 primeiros números naturais é igual a

(A) 400
(B) 410
(C) 670
(D) 780
(E) 800

- Podemos olhar para os números naturais como uma PA com a1=0 e r=1. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...} - Aqui tem um pega ratão! Para usar a fórmula da soma devemos saber que é o a40. Você pode achar que é o 40, mas não. Vamos calcular! a40=a1+(40-1)·r a40=0+(39)·1 a40=0+39 a40=39 - Viu! Agora vamos aplicar a fórmula da soma. S40=(0+39)·40/2 S40=39·20 S40=780 Resposta certa, letra "D".

---

8) (UFCE) Um atleta corre sempre 400 metros a mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele percorre um total de 35200 metros. O número de metros que ele correu no último dia foi igual a

(A) 5100
(B) 5200
(C) 5300
(D) 5400
(E) 5500

- Informações: S11=35200 r=400 - Neste exercício iremos usar a fórmula da soma dos termos, mas para isso devemos calcular o valor de an em função de a1 e r. Calma lá, veja só: an=a1+(n-1)r a11=a1+(11-1)r a11=a1+10r sabemos que a razão é 400 a11=a1+10·400 a11=a1+4000 - Agora sim vamos colocar na fórmula da soma: - Calculamos o valor de a1, agora é só substituir na fórmula de a11 para achar seu valor (pois é isso que o problema quer, o valor do último dia): a11=a1+4000 a11=1200+4000 a11=5200 Resposta certa, letra "B".

---

9) (PUC) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por S_n=3n²+5n. a razão dessa PA é:

(A) 7
(B) 6
(C) 9
(D) 8
(E) 10

- Esta questão é clássica! Tem um pega-ratão tenebroso. O problema dá a fórmula geral da soma dos n primeiros termos de uma PA. Vamos substituir valores e achar os dois primeiros termos para calcularmos a razão (que é o que o problema pede). - Se substituirmos o "n" por 1 teremos S1 que equivale dizer "a soma dos 1 primeiros termos", ou seja, o próprio primeiro termo. Sn=3n2+5n S1=3·12+5·1 S1=3+5 a1=8 - Agora que tem o pega-ratão! Se substituirmo "n" por 2 teremos a soma dos 2 primeiros termos, ou seja, a1+a2: S2=3·22+5·2 S2=3·4+10 S2=12+10 S2=22 - Lembre-se que este é o valor de a1+a2 portanto: a1+a2=22 8+a2=22 a2=22-8 a2=14 - Para achar o valor da razão, fazemos a2-a1: r=a2-a1 r=14-8 r=6 Resposta certa, letra "B".

---

10) (UFRGS) Para p e q inteiros positivos, a soma dos cem primeiros múltiplos de p é A e a soma dos cem primeiros múltiplos de q é B. O valor de A+B é

(A) 200pq
(B) 200(p + q)
(C) 500(p + q)
(D) 5050(p + q)
(E) 5050pq

- Sabemos que os múltiplos de um número "n" seguem conforme uma PA de razão r=n e a1=n. Exemplo, os múltiplos de 5: {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50...} - Então para os múltiplos de "p" temos uma PA com r=p e a1=p. O problema diz que "A" é a soma dos 100 primeiro múltiplos de "p". Podemos aplicar a fórmula da soma dos termos de uma PA, mas para isso devemos saber o valor de a100, vamos calculá-lo aplicando a fórmula do termo geral: a100=a1+(100-1)r a100=p+99·p a100=100p - Agora podemos calcula a soma dos cem primeiros, ou seja, o valor de "A". S100=(a1+a100)·100/2 S100=(p+100p)·50 S100=(101p)·50 p=5050p - Com este mesmo raciocínio vamos calcular "B". a100=100q S100=(q+100q)·50 S100=(101q)·50 S100=5050q - Concluímos que o valor de A+B é 5050p+5050q, colocando o 5050 em evidência, temos: 5050(p+q) resposta certa, letra "D".

---

11) (PUC) A quantidade de meios aritméticos que se devem interpolar entre -a e 20a, a fim de se obter uma PA de razão 7, é

(A) 3a-2
(B) 3a-1
(C) 3a
(D) 3a+1
(E) 3a+2

- Informações: a1=-a an=20a r=7 - Vamos utilizar a fórmula do termo geral: Agora não caia no pega-ratão, acabamos de calcular o número de termos que deve ter a progressão. O exercício pede quantos devem ser INSERIDOS entre -a e 20a, portanto devemos diminuir duas unidades: 3a+1-2 3a-1 Resposta certa letra "B".

Fonte: http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/progressoes/progressao_aritmetica/progressao_aritmetica_06_exercicios_resolvidos.php

Recomendamos: http://www.tutorbrasil.com.br/

- Binômio De Newton
Denomina-se Binômio de Newton , a todo binômio da forma (a + b)n , sendo n um número natural . Exemplo: B = (3x - 2y)4 ( onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binômio] ).Nota 1: Isaac Newton - físico e matemático inglês(1642 - 1727). Suas...

- Progressão Aritmética Exercícios Resolvidos
Exercícios resolvidos P.G 1) Dadas as sucessões P.G. ( x, y, 147 ) e P.A. ( 5x, y, 27 ), ambas crescentes, quais os valores de x e de y? O termo y é média geométrica da P.G. e média aritmética da P.A., então matematicamente podemos...

- Progressão Geométrica
Nesse artigo será abordado a teoria completa de Progressão Geométrica com exemplos para um melhor aprendizado da teoria. Progressão Geométrica Chamamos Progressão Geométrica (P.G.) a uma seqüência de números reais, formada por termos,...

- Questões De Concursos Progressão Aritmética
Lista de questões de Progressão aritmética extraídas de provas de vestibulares anteriores. Exercícios de Progressão aritmética com gabarito 1) (UFBA) - Considere a P.A. de razão r , dada por (log4 , log12 , log36 , ... ). Sendo...

- Progressão Aritmética(p.a)
Nesse  artigo será abordado Progressão aritmética com vários exemplos para um melhor aprendizado. 1 - Conceito de Progressão Aritmética - PA Chama-se Progressão Aritmética ? P.A ? à toda sequência numérica cujos termos a partir do segundo,...



Vestibular





Copyright © Hi7.co || Hi7 - E-mail

Educação | Biologia | Ciências Humanas e Sociais | História do Brasil e do Mundo | Carreira Militar | Catedrais Medievais | Filosofia | Psicologia | Aprender Inglês | Sociologia | Blogs