Binômio de Newton

Denomina-se Binômio de Newton , a todo binômio da forma (a + b)ⁿ , sendo n um número natural .

Exemplo:
B = (3x - 2y)⁴ ( onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binômio] ).

Nota 1:
Isaac Newton - físico e matemático inglês(1642 - 1727).
Suas contribuições à Matemática, estão reunidas na monumental obra Principia Mathematica, escrita em 1687.

Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton :
a) (a + b)² = a² + 2ab + b²
b) (a + b)³ = a³ + 3 a²b + 3ab² + b³
c) (a + b)⁴ = a⁴ + 4 a³b + 6 a²b² + 4ab³ + b⁴
d) (a + b)⁵ = a⁵ + 5 a⁴b + 10 a³b² + 10 a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Nota 2:
Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas possuem uma lei de formação bem definida, senão vejamos:

Vamos tomar por exemplo, o item (d) acima:
Observe que o expoente do primeiro e últimos termos são iguais ao expoente do binômio, ou seja, igual a 5.
A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos a partir da seguinte regra prática de fácil memorização:

Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficiente do próximo termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiente do terceiro termo do item (d) acima teríamos:
5.4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que é o coeficiente do terceiro termo procurado.

Observe que os expoentes da variável a decrescem de n até 0 e os expoentes de b crescem de 0 até n. Assim o terceiro termo é 10 a³b² (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de b cresceu de 1 para 2).

Usando a regra prática acima, o desenvolvimento do binômio de Newton (a + b)⁷ será:
(a + b)⁷ = a⁷ + 7 a⁶b + 21 a⁵b² + 35 a⁴b³ + 35 a³b⁴ + 21 a²b⁵ + 7 ab⁶ + b⁷

Como obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6º termo (21 a²b⁵) ?

Pela regra: coeficiente do termo anterior = 35. Multiplicamos 35 pelo expoente de a que é igual a 3 e dividimos o resultado pela ordem do termo que é 5.
Então, 35 . 3 = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo anterior) vem 105:5 = 21, que é o coeficiente do sexto termo, conforme se vê acima.

Observações:
1) o desenvolvimento do binômio (a + b)ⁿ é um polinômio.
2) o desenvolvimento de (a + b)ⁿ possui n + 1 termos .
3) os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos , no desenvolvimento de
(a + b)ⁿ são iguais .
4) a soma dos coeficientes de (a + b)ⁿ é igual a 2ⁿ .

Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton

Um termo genérico T_p+1 do desenvolvimento de (a+b)ⁿ , sendo p um número natural, é dado por

onde

é denominado Número Binomial e C_n.p é o número de combinações simples de n elementos, agrupados p a p, ou seja, o número de combinações simples de n elementos de taxa p.
Este número é também conhecido como Número Combinatório.

Exercícios Resolvidos:

1 - Determine o 7º termo do binômio (2x + 1)⁹ , desenvolvido segundo as potências decrescentes de x.

Solução:

Vamos aplicar a fórmula do termo geral de (a + b)ⁿ , onde a = 2x , b = 1 e n = 9. Como queremos o sétimo termo, fazemos p = 6 na fórmula do termo geral e efetuamos os cálculos indicados. Temos então:
T₆₊₁ = T₇ = C_9,6 . (2x)^9-6 . (1)⁶ = 9! /[(9-6)! . 6!] . (2x)³ . 1 = 9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x³ = 84.8x³= 672x³. Portanto o sétimo termo procurado é 672x³.

2 - Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)⁸ ?

Solução:

Temos a = 2x , b = 3y e n = 8. Sabemos que o desenvolvimento do binômio terá 9 termos, porque n = 8. Ora sendo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 os termos do desenvolvimento do binômio, o termo do meio (termo médio) será o T5 (quinto termo). Logo, o nosso problema resume-se ao cálculo do T₅ . Para isto, basta fazer
p = 4 na fórmula do termo geral e efetuar os cálculos decorrentes.
Teremos:
T₄₊₁ = T₅ = C_8,4 . (2x)^8-4 . (3y)⁴ = 8! / [(8-4)! . 4!] . (2x)⁴ . (3y)⁴
= 8.7.6.5.4! / (4! . 4.3.2.1) . 16x⁴.81y⁴

Fazendo as contas vem:
T₅ = 70.16.81.x⁴ . y⁴ = 90720x⁴y⁴ , que é o termo médio procurado.

3 - Desenvolvendo o binômio (2x - 3y)³ⁿ , obtemos um polinômio de 16 termos .
Qual o valor de n?

Solução:

Ora, se o desenvolvimento do binômio possui 16 termos, então o expoente do binômio é igual a 15.
Logo, 3n = 15 de onde conclui-se que n = 5.

4 - Qual a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de :

Solução:

a) basta fazer x=1 e y=1. Logo, a soma S procurada será: S = (2.1 -3.1)¹² = (-1)¹² = 1
b) analogamente, fazendo x = 1 e y = 1, vem: S = (1 - 1)⁵⁰ = 0⁵⁰ = 0.

5 - Determine o termo independente de x no desenvolvimento de (x + 1/x )⁶ .

Solução:

Sabemos que o termo independente de x é aquele que não depende de x, ou seja, aquele que não possui x.
Temos no problema dado: a = x , b = 1/x e n = 6.

Pela fórmula do termo geral, podemos escrever:

T_p+1 = C_6,p . x^6-p . (1/x)^p = C_6,p . x^6-p . x^-p = C_6,p . x^6-2p .
Ora, para que o termo seja independente de x, o expoente desta variável deve ser zero, pois x⁰ = 1. Logo, fazendo 6 - 2p = 0, obtemos p=3. Substituindo então p por 6, teremos o termo procurado. Temos então:
T₃₊₁ = T₄ = C_6,3 . x⁰ = C_6,3 = 6! /[(6-3)! . 3! ] = 6.5.4.3! / 3!.3.2.1 = 20.
Logo, o termo independente de x é o T₄ (quarto termo) que é igual a 20.

Exercícios propostos

1) Qual é o termo em x⁵ no desenvolvimento de (x + 3)⁸ ?

2) Determine a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (x - 3y)⁷ .

3) Qual é o valor do produto dos coeficientes do 2o. e do penúltimo termo do desenvolvimento de (x - 1)⁸⁰ ?

4) FGV-SP - Desenvolvendo-se a expressão [(x + 1/x) . (x - 1/x)]⁶ , obtém-se como termo independente de x o valor:
a) 10
b) -10
c) 20
d) -20
e) 36
Clique AQUI para ver a solução.

5) UF. VIÇOSA - A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)^m é 625. O valor de m é:
a) 5
b) 6
c)10
d) 3
e) 4

6) MACK-SP - Os 3 primeiros coeficientes no desenvolvimento de (x² + 1/(2x))ⁿ estão em progressão aritmética.O valor de n é:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12

7) No desenvolvimento de (3x + 13)ⁿ há 13 termos. A soma dos coeficientes destes termos
é igual a:
Resp: 2⁴⁸

8 - UFBA-92 - Sabendo-se que a soma dos coeficientes no desenvolvimento do binômio (a + b)^m é igual a 256, calcule (m/2)!
Resp: 24

9 - UFBA-88 - Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de (x² + 1/x)⁹.
Resp: O termo independente de x é o sétimo e é igual a 84.

10 - Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (3x - 1)¹⁰.
Resp: 1024

Respostas:
1) T₄ = 1512.x⁵
2) ? 128
3) 6400
4) D
5) E
6) 8
7) 2⁴⁸
8) 24
9) 84
10) 1024