Vestibular
Denomina-se equação do 1° grau com uma incógnita, qualquer equação que possa ser reduzida à forma ax = b, onde x é a incógnita e a e b são números reais, com a ? 0. a e b são coeficientes da equação.
Vejamos agora uma maneira simples de resolver de solucionar uma equação do 1º grau:
Veja mais um exemplo:
10x ? 9 = 21 + 2x + 3x
10x ? 2x ? 3x = 21 + 9
10x ? 5x = 30
5x = 30
x = 30/5
x = 6
Verificando:
10x ? 9 = 21 + 2x + 3x
10 * 6 ? 9 = 21 + 2 * 6 + 3 * 6
60 ? 9 = 21 + 12 + 18
51 = 51 ? sentença verdadeira
O valor numérico de x que satisfaz à equação é 6.
Resumo
A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.
Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a=c-4. Assim:
c + a = 22 c + (c - 4) = 22 2c - 4 = 22 2c - 4 + 4 = 22 + 4 2c = 26 c = 13 Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4 = 9 anos.
questões de equações do 1º grau
1) Qual a raiz da equação 20-80+2x=10?
2x = 10 - 20 +80
2x = -10 + 80
2x = 70
x = 70/2
x = 35
2) Resolva a equação 23x - 16 = 14 - 17x
23x = 14 - 17x + 16
23x + 17x = 30
40x = 30
x = 30/40 = 3/4
3) Encontre o valor de x na equação:
[2(x - 5) + 4(1 - 2x)] / 20 = 5 (3 - x) / 20
2x - 10 + 4 - 8x = 15 - 5x
-6x - 6 = 15 - 5x
-6x + 5x = 15 + 6
-x = 21 * (-1)
x = -21
4) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.
(3a + 6) / 8 = (2a + 10) / 6
6 (3a + 6) = 8 (2a + 10)
18a + 36 = 16a + 80
2a = 44
a = 44/2 = 22
5) Um relógio que custa R$ 250,00 está sendo vendido com o seguinte plano de pagamento: R$ 30,00 de entrada e o restante em 4 prestações iguais, sem juros.
Qual é o valor de cada prestação?
R$ 250 ? R$ 30 = R$ 220
Equação
30 + 4x = 250
4x = 250 ? 30
4x = 220
x = 220/4
x = 55
O valor de cada prestação é R$ 55,00.
6) Sabendo que o triplo de um número somado com 8 é igual ao número somado com 10, descubra qual é o número?
Solução:
Um número: x
Triplo do número: 3x
Equação
3x + 8 = x + 10
3x ? x = 10 ? 8
2x = 2
x = 2/2
x = 1
O número é igual a 1.
7) Um número adicionado ao seu dobro e ao seu quádruplo resulta em 84. Qual é o número?
Solução:
Um número: x
Dobro: 2x
Quádruplo: 4x
Equação
x + 2x + 4x = 84
7x = 84
x = 84/7
x = 12
O número é igual a 12.
8) (ENEM/2010) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado.
a) 4,0 m e 5,0 m.
b) 5,0 m e 6,0 m.
c) 6,0 m e 7,0 m.
d) 7,0 m e 8,0 m.
e) 8,0 m e 9,0 m.
Resolução:
Fazendo-se as considerações que:
- o alcance do segundo salto é 1,2 m menor que do primeiro salto
- o alcance do terceiro salto é 1,5 m menor que do segundo salto
- a distância alcançada no primeiro salto é x
Logo, para atingir a meta de 17,4 m, tem-se:
x + (x ? 1,2) + (x ? 1,2 ? 1,5) = 17,4 ?3x = 21,3 ? x = 7,1
Letra: D
9) (UNIRIO - RJ) Um grupo de amigos vai acampar num final de semana. Sabendo-se que numa certa hora da manhã de domingo, o equivalente a um terço desse grupo está envolvido com o preparo do almoço, o equivalente à metade do grupo cuida da limpeza do acampamento, o equivalente à décima parte desses dois subgrupos colhe flores nas redondezas e um elemento do grupo deleita-se com um livro de crônicas de Zuenir Ventura, quantos elementos tem esse grupo de amigos?
Resolução:
Considerando:
X - a parte do grupo envolvida com o preparo do almoço
Y - a parte do grupo que cuida da limpeza do acampamento
Z - a parte do grupo que colhe flores
V - total do grupo
Então, sabemos:
X = 1/3 V
Y = 1/2 V
Z = 1/10 (X + Y)
V = X + Y + Z + 1
(Este 1 é o elemento do grupo que está a ler)
Agora é só substituir.
V = 1/3 V + 1/2 V + 1/10 [ (1/3 V) + (1/2 V) ] + 1
V = 1/3 V + 1/2 V + 1/30 V + 1/20 V + 1 (reduzindo os termos com "V" ao mesmo denominador)
V = 20/60 V + 30/60 V + 2/60 V + 3/60 V + 1
V = 55/60 V + 1
V - 55/60V = 1 (reduzindo novamente os termos com "V" ao mesmo denominador)
60/60 V - 55/60V =1
5/60 V = 1
5 V = 60
V = 60/5
V = 12
- Equação Geral E Reduzida Da Reta - Resumo (com Questões)
Equação geral da reta Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de alinhamento de três pontos. Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) pontos conhecidos e distintos...
- Polinômios Questões Vestibular
Adição e subtração de polinômios O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes e jogo de sinal. Observe os exemplos:...
- Números Complexos Exercícios E Teoria
Artigo sobre números complexos com exercícios e teoria: propriedades do conjugado, operações, conjugado e potência de um número complexo. PROPRIEDADES Definição: O conjugado de um complexo Ex: Propriedade 1: A soma...
- Exercícios Resolvidos Equação Geral Da Circunferência
Artigo com exercícios resolvidos equação geral da circunferência 1) Dada a equação x2 + y2 + 2x + 8y + k = 0, obter k para que ela represente: a) uma circunferência; b) um único ponto; c) um conjunto vazio. Resolução 2) Qual das...
- Questões Resolvidas De Progressão Aritmética
Lista de questões resolvidas sobre progressão aritmética de vestibulares anteriores. Exercícios resolvidos de P.A 1) Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma...
Vestibular
equação do 1º grau questões vestibular
Denomina-se equação do 1° grau com uma incógnita, qualquer equação que possa ser reduzida à forma ax = b, onde x é a incógnita e a e b são números reais, com a ? 0. a e b são coeficientes da equação.
Equações do 1° grau podem possuir mais de uma incógnita. Como exemplo, temos as equações do 1° grau com duas incógnitas, que são quaisquer equações que podem ser reduzidas a uma equação equivalente da forma ax + by = c, com a ? 0 e b ? 0. Neste caso, além de a e b, temos também c como coeficientes da equação.
Utilizamos equações do 1° grau com uma incógnita na resolução de problemas tal qual o seguinte:
"Se eu tivesse o dobro da quantia que eu possuo, com mais dez reais eu poderia comprar um certo livro que custa cem reais. Quantos reais eu possuo?"
Inicialmente iremos expressar este mesmo problema em linguagem matemática. Para isto vamos chamar a quantia que eu possuo atualmente de x. Este é valor procurado.
Ao referir-me ao dobro da quantia, matematicamente estou me referindo a 2x, ou seja, ao dobro de x.
O dobro da quantia mais dez reais será expresso matematicamente como 2x + 10.
Finalmente devemos expressar que o dobro da quantia mais dez é igual a cem, logo a expressão inteira será: 2x + 10 = 100.
Basicamente substituímos o texto em português pelos seus respectivos operadores matemáticos.
Resolução de equações do 1° grau com uma incógnitaVejamos agora uma maneira simples de resolver de solucionar uma equação do 1º grau:
A ideia agora é passar o termo 10 do primeiro para o segundo membro. Como ele está sendo somado, passará para o outro lado sendo subtraído, já que a subtração é a operação inversa da adição:
Que se resume a:
Passamos agora o coeficiente 2 para o segundo membro. Como ele está multiplicando, do outro lado ele estará dividindo. Isto porque a divisão é a operação inversa da multiplicação:
Realizando a divisão encontramos a raiz 45:
Apenas a título de verificação, vamos substituir a incógnita x por 45 para confirmarmos que este valor torna a equação verdadeira:
Veja mais um exemplo:
10x ? 9 = 21 + 2x + 3x
10x ? 2x ? 3x = 21 + 9
10x ? 5x = 30
5x = 30
x = 30/5
x = 6
Verificando:
10x ? 9 = 21 + 2x + 3x
10 * 6 ? 9 = 21 + 2 * 6 + 3 * 6
60 ? 9 = 21 + 12 + 18
51 = 51 ? sentença verdadeira
O valor numérico de x que satisfaz à equação é 6.
Resumo
Este método que acabamos de estudar resume-se em isolar a incógnita no primeiro membro, passando progressivamente cada um dos coeficientes para o segundo membro. A passagem é feita passando o termo para o outro lado, invertendo-se a operação que é realizada sobre o mesmo:
- Se for adição, passa a subtração;
- Se for subtração, passa a adição;
- Se for multiplicação, passa a divisão;
- Se for divisão, passa a multiplicação.
Na verdade tais inversões nada mais são que uma forma simplificada de utilização dos princípios aditivo e multiplicativo da igualdade, como visto inicialmente.
Resolução de problema envolvendo equação do 1º grau
Daniel é filho único e por isso tem uma boa mesada. O seu sonho era comprar uma skate e ser igual aos grandes skatistas brasileiros. Certo dia, ao entrar numa loja, ele encontrou uma ótima promoção: ?Compre um skate e leve grátis uma bola de futebol?.
Sabe-se que o triplo do preço do skate com o preço da bola (R$ 50,00) dá um valor de R$ R$ 650,00. Ajude Daniel, encontre o valor unitário do skate.
Chamemos de x o preço skate; 3x é o triplo do preço do skate; R$ 50,00 é preço da bola; R$ 650,00 é a soma de 3x com R$50,00.
Montando a equação:
3x + 50 = 650
3x = 650 ? 50
3x = 600
x = 600 : 3
x = 200
Portanto, R$ 200,00 é valor unitário do skate. Ainda mais, como foi informado na questão, a bola sairá gratuitamente gerando uma economia de R$ 50,00 caso ela fosse comprada separadamente.
Outro exemplo:
Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a=c-4. Assim:
c + a = 22 c + (c - 4) = 22 2c - 4 = 22 2c - 4 + 4 = 22 + 4 2c = 26 c = 13 Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4 = 9 anos.
questões de equações do 1º grau
1) Qual a raiz da equação 20-80+2x=10?
2x = 10 - 20 +80
2x = -10 + 80
2x = 70
x = 70/2
x = 35
2) Resolva a equação 23x - 16 = 14 - 17x
23x = 14 - 17x + 16
23x + 17x = 30
40x = 30
x = 30/40 = 3/4
3) Encontre o valor de x na equação:
[2(x - 5) + 4(1 - 2x)] / 20 = 5 (3 - x) / 20
2x - 10 + 4 - 8x = 15 - 5x
-6x - 6 = 15 - 5x
-6x + 5x = 15 + 6
-x = 21 * (-1)
x = -21
4) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.
(3a + 6) / 8 = (2a + 10) / 6
6 (3a + 6) = 8 (2a + 10)
18a + 36 = 16a + 80
2a = 44
a = 44/2 = 22
5) Um relógio que custa R$ 250,00 está sendo vendido com o seguinte plano de pagamento: R$ 30,00 de entrada e o restante em 4 prestações iguais, sem juros.
Qual é o valor de cada prestação?
R$ 250 ? R$ 30 = R$ 220
Equação
30 + 4x = 250
4x = 250 ? 30
4x = 220
x = 220/4
x = 55
O valor de cada prestação é R$ 55,00.
6) Sabendo que o triplo de um número somado com 8 é igual ao número somado com 10, descubra qual é o número?
Solução:
Um número: x
Triplo do número: 3x
Equação
3x + 8 = x + 10
3x ? x = 10 ? 8
2x = 2
x = 2/2
x = 1
O número é igual a 1.
7) Um número adicionado ao seu dobro e ao seu quádruplo resulta em 84. Qual é o número?
Solução:
Um número: x
Dobro: 2x
Quádruplo: 4x
Equação
x + 2x + 4x = 84
7x = 84
x = 84/7
x = 12
O número é igual a 12.
8) (ENEM/2010) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado.
Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado).
Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre
a) 4,0 m e 5,0 m.
b) 5,0 m e 6,0 m.
c) 6,0 m e 7,0 m.
d) 7,0 m e 8,0 m.
e) 8,0 m e 9,0 m.
Resolução:
Fazendo-se as considerações que:
- o alcance do segundo salto é 1,2 m menor que do primeiro salto
- o alcance do terceiro salto é 1,5 m menor que do segundo salto
- a distância alcançada no primeiro salto é x
Logo, para atingir a meta de 17,4 m, tem-se:
x + (x ? 1,2) + (x ? 1,2 ? 1,5) = 17,4 ?3x = 21,3 ? x = 7,1
Letra: D
9) (UNIRIO - RJ) Um grupo de amigos vai acampar num final de semana. Sabendo-se que numa certa hora da manhã de domingo, o equivalente a um terço desse grupo está envolvido com o preparo do almoço, o equivalente à metade do grupo cuida da limpeza do acampamento, o equivalente à décima parte desses dois subgrupos colhe flores nas redondezas e um elemento do grupo deleita-se com um livro de crônicas de Zuenir Ventura, quantos elementos tem esse grupo de amigos?
Resolução:
Considerando:
X - a parte do grupo envolvida com o preparo do almoço
Y - a parte do grupo que cuida da limpeza do acampamento
Z - a parte do grupo que colhe flores
V - total do grupo
Então, sabemos:
X = 1/3 V
Y = 1/2 V
Z = 1/10 (X + Y)
V = X + Y + Z + 1
(Este 1 é o elemento do grupo que está a ler)
Agora é só substituir.
V = 1/3 V + 1/2 V + 1/10 [ (1/3 V) + (1/2 V) ] + 1
V = 1/3 V + 1/2 V + 1/30 V + 1/20 V + 1 (reduzindo os termos com "V" ao mesmo denominador)
V = 20/60 V + 30/60 V + 2/60 V + 3/60 V + 1
V = 55/60 V + 1
V - 55/60V = 1 (reduzindo novamente os termos com "V" ao mesmo denominador)
60/60 V - 55/60V =1
5/60 V = 1
5 V = 60
V = 60/5
V = 12
10) Num campeonato de futebol, os dois melhores artilheiros pertencem ao mesmo time vencedor. Durante o campeonato, só esses dois jogadores marcaram 32 gols. Se o segundo artilheiro marcou um terço do número de gols do primeiro, quantos gols marcou cada jogador?
Resolução:
1o. jogador --> x
2o. jogador --> y
eles juntos marcaram 32, entao x+y = 32
o 2o. marcou 1/3 do 1o. , tenao y = x/3
isolando x na 2a. equaçao, fica x = 3y
volte na 1a. e troque x por 3y
3y + y = 32
4y = 32
y = 8
x = 3y
x = 3.8
x = 24
o 1o. jogador marcou 24 gols e o segundo 8 gols.
11) Em um concurso os participantes devem responder a um total de 20 questões. Para cada resposta correta o candidato ganha 3 pontos e para cada resposta errada perde 2 pontos. Determine o número de acertos e erros que um candidato obteve considerando que ele totalizou 35 pontos.
Solução:
12) (UFG ? 2010 ? 2ª Fase) Uma agência de turismo vende pacotes familiares de passeios turísticos, cobrando para crianças o equivalente a 2/3 do valor para adultos. Uma família de cinco pessoas, sendo três adultos e duas crianças, comprou um pacote turístico e pagou o valor total de R$ 8.125,00. Com base nessas informações, calcule o valor que a agência cobrou de um adulto e de uma criança para realizar esse passeio.
Solução:
Adulto = x
13) Resolva a equação 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20
14) verificar se três é raiz de 5x ? 3 = 2x + 6
15) Um menino nasceu 6 anos depois de seu irmão. Em um certo momento ele tinha o dobro da idade desse irmão. Quantos anos os dois tinham nesse momento?
16) Tenho a seguinte escolha: Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho, ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 30,00. Qual o valor unitário deste produto?
17) 7 é raiz da equação x + 5 = 2?
18) A soma da minha idade, com a idade de meu irmão que é 7 anos mais velho que eu dá 37 anos. Quantos anos eu tenho de idade?
19) Para cercar um terreno retangular de 50 m de comprimento, será feita uma porteira de madeira de 3 m de extensão e uma cerca com 5 fios de arame. Se a medida da largura desse terreno é igual a dois quintos da do comprimento, então o número de metros de arame necessário será:
a) 700.
b) 685.
c) 557.
d) 535.
20) O triplo de um número, diminuído de 12, é igual a 33. Qual é esse número?
Gabarito:
13) y = 21 14) é raiz 15) 6 e 12 16) R$ 5,00 17) não. -3 que é a raiz da equação 18) 15
19) B 20) 15
Resolução:
1o. jogador --> x
2o. jogador --> y
eles juntos marcaram 32, entao x+y = 32
o 2o. marcou 1/3 do 1o. , tenao y = x/3
isolando x na 2a. equaçao, fica x = 3y
volte na 1a. e troque x por 3y
3y + y = 32
4y = 32
y = 8
x = 3y
x = 3.8
x = 24
o 1o. jogador marcou 24 gols e o segundo 8 gols.
11) Em um concurso os participantes devem responder a um total de 20 questões. Para cada resposta correta o candidato ganha 3 pontos e para cada resposta errada perde 2 pontos. Determine o número de acertos e erros que um candidato obteve considerando que ele totalizou 35 pontos.
Solução:
Acertos: representados pela letra x.
Erros: representados por 20 ? x.
Erros: representados por 20 ? x.
Portanto:
3 * x ? 2 * (20 ? x) = 35
3x ? 40 + 2x = 35
5x = 35 + 40
5x = 75
x = 75/5
x = 15
3x ? 40 + 2x = 35
5x = 35 + 40
5x = 75
x = 75/5
x = 15
O candidato obteve 15 acertos e 5 erros.
Solução:
Adulto = x
Criança = 2/3 de x
14) verificar se três é raiz de 5x ? 3 = 2x + 6
15) Um menino nasceu 6 anos depois de seu irmão. Em um certo momento ele tinha o dobro da idade desse irmão. Quantos anos os dois tinham nesse momento?
16) Tenho a seguinte escolha: Ou compro 20 unidades de um produto com todo o dinheiro que tenho, ou compro apenas 14 unidades e ainda me sobra um troco de R$ 30,00. Qual o valor unitário deste produto?
17) 7 é raiz da equação x + 5 = 2?
18) A soma da minha idade, com a idade de meu irmão que é 7 anos mais velho que eu dá 37 anos. Quantos anos eu tenho de idade?
19) Para cercar um terreno retangular de 50 m de comprimento, será feita uma porteira de madeira de 3 m de extensão e uma cerca com 5 fios de arame. Se a medida da largura desse terreno é igual a dois quintos da do comprimento, então o número de metros de arame necessário será:
a) 700.
b) 685.
c) 557.
d) 535.
20) O triplo de um número, diminuído de 12, é igual a 33. Qual é esse número?
Gabarito:
13) y = 21 14) é raiz 15) 6 e 12 16) R$ 5,00 17) não. -3 que é a raiz da equação 18) 15
19) B 20) 15
- Equação Geral E Reduzida Da Reta - Resumo (com Questões)
Equação geral da reta Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de alinhamento de três pontos. Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) pontos conhecidos e distintos...
- Polinômios Questões Vestibular
Adição e subtração de polinômios O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes e jogo de sinal. Observe os exemplos:...
- Números Complexos Exercícios E Teoria
Artigo sobre números complexos com exercícios e teoria: propriedades do conjugado, operações, conjugado e potência de um número complexo. PROPRIEDADES Definição: O conjugado de um complexo Ex: Propriedade 1: A soma...
- Exercícios Resolvidos Equação Geral Da Circunferência
Artigo com exercícios resolvidos equação geral da circunferência 1) Dada a equação x2 + y2 + 2x + 8y + k = 0, obter k para que ela represente: a) uma circunferência; b) um único ponto; c) um conjunto vazio. Resolução 2) Qual das...
- Questões Resolvidas De Progressão Aritmética
Lista de questões resolvidas sobre progressão aritmética de vestibulares anteriores. Exercícios resolvidos de P.A 1) Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma...