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Poliedros convexos e regulares

Elas representam sólidos, e são exemplos de poliedros

De um modo geral, chamamos de Poliedro à região do espaço limitada por polígonos planos, e tais que cada uma das arestas desses polígonos pertença a dois e somente dois deles.

Veja:

Polígono = figura plana
Poliedro = sólido, em 3 dimensões, no espaço, formado por polígonos
Arestas = lados dos polígonos que formam o poliedro
Vértices = os pontos onde as arestas se interceptam

Faces = cada um dos polígonos que formam o poliedro

poliedro.gif (5086 bytes)

Mas atenção: não são poliedros os sólidos que possuem formas arredondadas, como o cilindro e o cone:

Poliedros convexos

Os poliedros são convexos quando se encontram todos para o mesmo lado em relação ao plano de qualquer uma das suas faces, ou seja, quando as suas faces deixam sempre as demais no mesmo semiespaço. Complicado? Vamos entender melhor isso!

Considere um poliedro e uma de suas faces: um octaedro, por exemplo. Imagine um plano apoiado nessa face. O poliedro ficou todo de um lado só desse plano? Então ele é convexo! Veja:

Poliedro convexo

Poliedro não convexo

Características dos poliedros convexos

Notações para poliedros convexos: V: Número de vértices, F: Número de faces, A: Número de arestas, n: Número de lados da região poligonal regular (de cada face), a: Medida da aresta A e m: Número de ângulos entre as arestas do poliedro convexo.

Característica do poliedro convexo	Medida da característica
Relação de Euler	V + F = A + 2
Número m de ângulos diedrais	m = 2 A
Ângulo diedral
Raio do círculo inscrito
Raio do círculo circunscrito
Área da superfície externa
Volume do sólido poliédrico

Classificação

Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo:

tetraedro: quatro faces

pentaedro: cinco faces

hexaedro: seis faces

heptaedro: sete faces

octaedro: oito faces

icosaedro: vinte face

Polígonos regulares

Vamos lembrar o conceito de polígono regular: aquele em que todos os lados são congruentes (iguais) e todos os ângulos são também congruentes.

Então, um poliedro é regular se suas faces são polígonos regulares, todos com o mesmo número de lados e, em cada vértice do poliedro, encontram-se (convergem) sempre o mesmo número de arestas.

Existem apenas cinco poliedros regulares:

Relações de Euler em poliedros regulares

As relações de Euler são duas importantes relações entre o número F de faces, o número V de vértices, o número A de arestas e o número m de ângulos entre as arestas.

F + V = A + 2, m = 2 A

Na tabela abaixo, você pode observar o cumprimento de tais relações para os cinco (5) poliedros regulares convexos.

Poliedro regular convexo	Cada face é um	Faces (F)	Vértices (V)	Arestas (A)	Ângulos entre as arestas (m)
Tetraedro	triângulo equilátero	4	4	6	12
Hexaedro	quadrado	6	8	12	24
Octaedro	triângulo equilátero	8	6	12	24
Dodecaedro	pentágono regular	12	20	30	60
Isocaedro	triângulo equilátero	20	12	30	60

Aplicação da relação de Euler

Exemplo:

Um poliedro convexo tem 6 faces triangulares e 3 faces quadrangulares. Determinar o número de arestas, o número de vértices e a soma dos ângulos de todas as faces.

Solução:
Aparentemente, o número de arestas deveria ser (6 x 3 + 3 x 4) = 30, mas como cada aresta é contada duas vezes, então o número de arestas é 30/2 = 15.

Logo A = 15.
O número de faces é F = 6 + 3 = 9
como V - A + F = 2
V = A + 2 - F
V = 15 + 2 - 9
V = 8.

Poliedros platônicos

Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:

a) for convexo;

b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;

c) toda face tiver o mesmo número de arestas;

d) for válida a relação de Euler.

Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico.

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