Vestibular
Conjunto dos números inteiros
Pertencem ao conjunto dos números inteiros, os números negativos e também o Conjunto dos Números Naturais.
Os números positivos são opostos aos números negativos e os negativos opostos aos positivos.
Sua representação é feita pela letra Z maiúscula.
={?,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8?}
NÚMEROS INTEIROS - OPERAÇÕES E PROPRIEDADES
Exercícios resolvidos conjunto dos números inteiros
Solução:
Seja t o total da adição inicial.
Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total é acrescido de 8 unidades:
Solução:
n = (quociente) × (divisor) + (resto)
Solução:
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Os números primos são trabalhados pela humanidade há uma longa data. Existem indícios de que o povo egípcio já possuía conhecimento acerca desses números, entretanto foi na Grécia que estudos mais aprofundados sobre os números primos foram realizados. Nesses...
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números inteiros questões
Conjunto dos números inteiros
Os números positivos são opostos aos números negativos e os negativos opostos aos positivos.
Sua representação é feita pela letra Z maiúscula.
={?,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8?}Observações: os números negativos são sempre acompanhados pelo sinal de negativo
(-) (à sua frente) e os positivos são acompanhados pelo sinal positivo (+) ou sem sinal nenhum. O zero não é positivo e nem negativo.
(-) (à sua frente) e os positivos são acompanhados pelo sinal positivo (+) ou sem sinal nenhum. O zero não é positivo e nem negativo.
O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:
- Inteiros não negativos São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais.
É representado por Z+:
É representado por Z+:
Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ?}
- Inteiros não positivos São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-:
Z- = {?, -5, -4, -3, -2, -1, 0}
- Inteiros não negativos e não-nulos É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+:
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ?}
Z*+ = N*
- Inteiros não positivos e não nulosSão todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-.
Z*- = {? -4, -3, -2, -1}
O conjunto dos números inteiros é formado pelos algarismos inteiros positivos e negativos e o zero. Eles são importantes para o cotidiano, principalmente nas situações envolvendo valores negativos, como escalas de temperatura, saldos bancários, indicações de altitude em relação ao nível do mar, entre outras situações. As adições e subtrações envolvendo estes números, requerem a utilização de regras matemáticas envolvendo os sinais positivos (+) e negativos (?). Devemos também dar ênfase ao estudo do módulo de um número, que significa trabalhar o valor absoluto de um algarismo, observe:
Vamos determinar o módulo dos números a seguir:
Módulo de + 4 = |+4| = 4
Módulo de ?6 = |?6| = 6
Módulo de ?10 = |?10| = 10
Módulo de +20 = |+20|=20
Adição e subtração de números inteiros sem a presença de parênteses.
1ª propriedade ? sinais iguais: soma e conserva o sinal.
2ª propriedade ? sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do número de maior módulo.
+ 5 + 6 = + 11 ?1ª propriedade
+ 9 + 10 = +19 ? 1ª propriedade
? 6 + 2 = ? 4 ? 2ª propriedade
+ 9 ? 7 = +2 ? 2ª propriedade
? 3 ? 5 = ?8 ?1ª propriedade
?18 ? 12 = ?30 ? 1ª propriedade
Vamos determinar o módulo dos números a seguir:
Módulo de + 4 = |+4| = 4
Módulo de ?6 = |?6| = 6
Módulo de ?10 = |?10| = 10
Módulo de +20 = |+20|=20
Adição e subtração de números inteiros sem a presença de parênteses.
1ª propriedade ? sinais iguais: soma e conserva o sinal.
2ª propriedade ? sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do número de maior módulo.
+ 5 + 6 = + 11 ?1ª propriedade
+ 9 + 10 = +19 ? 1ª propriedade
? 6 + 2 = ? 4 ? 2ª propriedade
+ 9 ? 7 = +2 ? 2ª propriedade
? 3 ? 5 = ?8 ?1ª propriedade
?18 ? 12 = ?30 ? 1ª propriedade
Adição e subtração de números inteiros com a presença de parênteses.
Para eliminarmos os parênteses devemos realizar um jogo de sinal, observe:
+ ( + ) = +
+ ( ? ) = ?
? ( + ) = ?
? ( ? ) = +
Após a eliminação dos parênteses, basta aplicarmos a 1ª ou a 2ª propriedade.
+ (+9) + (?6) ? + 9 ? 6 ? + 3
? (? 8) ? (+6) ? +8 ? 6 ? +2
+ (? 14) ? (? 8) ? ?14 + 8 ? ? 6
? (+ 22) ? (? 7) ? ?22 + 7 ? ?15
? ( + 9 ) + (? 12) ? ? 9 ? 12 ? ? 21
Para eliminarmos os parênteses devemos realizar um jogo de sinal, observe:
+ ( + ) = +
+ ( ? ) = ?
? ( + ) = ?
? ( ? ) = +
Após a eliminação dos parênteses, basta aplicarmos a 1ª ou a 2ª propriedade.
+ (+9) + (?6) ? + 9 ? 6 ? + 3
? (? 8) ? (+6) ? +8 ? 6 ? +2
+ (? 14) ? (? 8) ? ?14 + 8 ? ? 6
? (+ 22) ? (? 7) ? ?22 + 7 ? ?15
? ( + 9 ) + (? 12) ? ? 9 ? 12 ? ? 21
Fonte: www.tudosobreconcursos.com
www.brasilescola.com/
Exercícios resolvidos conjunto dos números inteiros
1) Roberta depositou em sua conta bancária a quantia de R$ 200,00. Ao conferir o saldo de sua conta notou que possuía um valor negativo de R$ -50,00. Quanto Roberta devia ao banco?
Solução:
Ao depositar R$ 200,00 e continuar devendo R$ 50,00, podemos chegar a conclusão de que Roberta devia ao banco R$ 250,00. Nos bancos os saldos devedores são simbolizados pelo sinal (?).
Podemos realizar a seguinte operação Matemática:
? 250 + 200 = ? 50
Na adição e na subtração utilizamos a seguinte definição:
Números com sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior.
? 20 + 3 = ? 17 + 48 ? 18 = + 30
Números com sinais iguais: soma e conserva o sinal.
? 20 ? 5 = ? 25 + 18 + 3 = + 21
Solução:
Ao depositar R$ 200,00 e continuar devendo R$ 50,00, podemos chegar a conclusão de que Roberta devia ao banco R$ 250,00. Nos bancos os saldos devedores são simbolizados pelo sinal (?).
Podemos realizar a seguinte operação Matemática:
? 250 + 200 = ? 50
Na adição e na subtração utilizamos a seguinte definição:
Números com sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior.
? 20 + 3 = ? 17 + 48 ? 18 = + 30
Números com sinais iguais: soma e conserva o sinal.
? 20 ? 5 = ? 25 + 18 + 3 = + 21
2) Numa adição com duas parcelas, se somarmos 8 à primeira parcela, e subtrairmos 5 da segunda parcela, o que ocorrerá com o total?
Solução:
Seja t o total da adição inicial.
Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total é acrescido de 8 unidades:
t + 8
Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o total é reduzido de 5 unidades:
t + 8 - 5 = t + 3
Resposta: Portanto o total ficará acrescido de 3 unidades.
3) Numa subtração, a soma do minuendo com o subtraendo e o resto é igual a 264. Qual é o valor do minuendo?
Solução:
Sejam m o minuendo, s o subtraendo e r o resto de uma subtração qualquer, é sempre verdade que:
3) Numa subtração, a soma do minuendo com o subtraendo e o resto é igual a 264. Qual é o valor do minuendo?
Solução:
Sejam m o minuendo, s o subtraendo e r o resto de uma subtração qualquer, é sempre verdade que:
m - s = r ? s + r = m
(a soma de s com r nos dá m)
Ao somarmos os três termos da subtração, m + s + r, observamos que a adição das duas últimas parcelas, s + r, resulta sempre igual a m. Assim poderemos escrever:
m + (s + r) = m + m = 2m
O total será sempre o dobro do minuendo.
Deste modo, temos:
Deste modo, temos:
m + s + r = 264
2m = 264
m = 264 ÷ 2 = 132
2m = 264
m = 264 ÷ 2 = 132
Resposta: O minuendo será 132.
4) Numa divisão inteira, o divisor é 12, o quociente é 5 e o resto é o maior possível. Qual é o dividendo?
4) Numa divisão inteira, o divisor é 12, o quociente é 5 e o resto é o maior possível. Qual é o dividendo?
Solução:
Se o divisor é 12, então o maior resto possível é 11, pois o resto não pode superar nem igualar-se ao divisor. Assim, chamando de n o dividendo procurado, teremos:
n = (quociente) × (divisor) + (resto)
n = 5 × 12 + 11
n = 60 + 11
n = 71
Resposta: O dividendo Procurado é 7
Resposta: O dividendo Procurado é 7
5) Dividindo 180 por b obtém-se quociente 8 e resto r, sendo b e r dois números naturais.
Determine a soma dos possíveis valores de b.Solução:
Sabemos da Aritmética, que:
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto
O resto é menor do que o divisor e positivo ou nulo.
No caso, temos:
Dividendo = 180
Divisor = b
Quociente = 8
Resto = r
Dividendo = 180
Divisor = b
Quociente = 8
Resto = r
Podemos escrever:
180 = 8b + r e, portanto, r = 180 - 8b
180 = 8b + r e, portanto, r = 180 - 8b
E, como o resto é positivo ou nulo e menor do que o divisor, vem:
0 £ 180 - 8b < b
0 £ 180 - 8b < b
Somando 8b a todos os membros, fica:
8b £ 180 < 9b
8b £ 180 < 9b
Podemos dizer então, que:
8b £ 180 (1)
8b £ 180 (1)
180 < 9b (2)
Dividindo ambos os membros de (1) por 8, vem: b £ 22,5
Dividindo ambos os membros de (2) por 9, vem: 20 < b
Portanto, 20 < b £ 22,5
Dividindo ambos os membros de (2) por 9, vem: 20 < b
Portanto, 20 < b £ 22,5
Os valores possíveis para b, são: b = 21 e b = 22.
Logo, a soma dos valores possíveis para b será igual a 21 + 22 = 43.
6) O quociente e o resto da divisão euclidiana de n por d são, respectivamente, 17 e 2. Obtenha a soma n + d, dado que n ? d = 274.
a) 310
b) 308
c) 307
d) 303
e) 301
Logo, a soma dos valores possíveis para b será igual a 21 + 22 = 43.
6) O quociente e o resto da divisão euclidiana de n por d são, respectivamente, 17 e 2. Obtenha a soma n + d, dado que n ? d = 274.
a) 310
b) 308
c) 307
d) 303
e) 301
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Artigo sobre radiciação e as propriedades dos radicais. O tópico em questão agora é a radiciação que é a operação inversa da potenciação. É muito utilizada na obtenção de solução de equações e na simplificação de expressões...
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Artigo sobre números complexos com exercícios e teoria: propriedades do conjugado, operações, conjugado e potência de um número complexo. PROPRIEDADES Definição: O conjugado de um complexo Ex: Propriedade 1: A soma...