Vestibular
Artigo com questões de vestibular resolvidas e propostas sobre m.m.c e m.d.c
1) Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendedores. A área administrativa é composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendedores com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo número de funcionários com o maior número possível. Determine quantos funcionários devem participar de cada equipe e o número possível de equipes.
Temos que determinar o MMC entre os números 3, 4 e 6.
MMC (3, 4, 6) = 2 * 2 * 3 = 12
Concluímos que após 12 dias, a manutenção será feita nas três máquinas. Portanto, dia 14 de dezembro.
MMC(2, 3, 6) = 2 * 3 = 6
O mínimo múltiplo comum dos números 2, 3, 6 é igual a 6.
4) Se x e y são números naturais em que m.m.c(y, x) = 115 e m.d.c(y, x) = 214, podemos dizer que o resto da divisão de xy por 23 é:
(A) é um número primo
(B) é um número par
(C) é maior que 100
(D) é 214
(E) é 115
5) Se x e y são números naturais em que m.m.c(y, x) = 154 e m.d.c(y, x) = 2, podemos dizer que xy:
(A) é um número primo
(B) é um número ímpar
(C) é maior que 500
(D) é divisível por 11
(E) é múltiplo de 15
6) Se x é um número natural em que m.m.c(140, x) = 2.100 e m.d.c(140, x) = 10, podemos dizer que x:
(A) é um número primo
(B) é um número par
(C) é maior que 150
(D) é divisível por 11
(E) é múltiplo de 14
7) Um ciclista dá uma volta em torno de um percurso em 1,2 minutos. Já outro ciclista completa o mesmo percurso em 1,6 minutos. Se ambos saem juntos do ponto inicial de quantos em quantos segundos se encontrarão no mesmo ponto de partida?
(A) 120
(B) 240
(C) 280
(D) 288
(E) 360
8) Um corredor dá uma volta em torno de um percurso em 12 minutos. Já outro corredor completa o mesmo percurso em 14 minutos. Se ambos saem juntos do ponto inicial de quantos em quantos minutos se encontrarão no mesmo ponto de partida?
9) Se o mdc (máximo divisor comum) entre dois números naturais é 1 e o produto entre eles é 14, então o mmc (mínimo múltiplo comum) entre os dois números naturais é
(A) 14
(B) 140
(C) 1.400
(D) 1
(E) 0
10) Se o mmc entre dois números naturais é 2.450 e o produto entre eles é 306.250, então o mdc entre os dois números naturais é
11) Se o mmc entre dois números naturais é 15 e o mdc entre os mesmos é também 15, então o produtos entre os dois números naturais é:
(A) 340
(B) 490
(C) 280
(D) 150
(E) 225
12) Um tanque tem 210 litros e outro tanque tem 475 litros. Qual seria a capacidade máxima, em litros, de um balde (totalmente cheio) que pudesse completar o volume dos dois tanques?
(A) 1 L
(B) 2 L
(C) 3 L
(D) 5 L
(E) 15 L
13) Obter o máximo divisor comum entre os números 21 e 49
(A) 7
(B) 49
(C) 147
(D) 12
(E) 14
14) Obter o mínimo múltiplo comum entre os números 250 e 450
(A) 2.000
(B) 2.150
(C) 2.250
(D) 2.500
(E) 4.500
Gabarito:
4) B 5) D 6) B 7) D 8) E 9) A 10) C 11) E 12) D 13) A 14) C
Para estudarmos o máximo divisor comum entre dois termos, precisamos saber o que é divisor de um número. Todo número natural possui divisores, isto é, se ao dividirmos um número A pelo número B e obtermos resto zero podemos afirmar que B é divisor de A. Por exemplo:
16 : 2 é igual a 8 e resto 0.
25 : 5 é igual a 5 e resto 0.
Podemos concluir que 2 e 5 são divisores de 16 e 25 respectivamente.
Exemplos de divisores de um número:
Divisores de:
32 = 1, 2, 4, 8, 16, 32
15 = 1, 3, 5, 15
45 = 1, 3, 5, 9, 15, 45
O MDC entre dois ou mais números é o maior divisor comum a eles.
Exemplos:
MDC(12,36)
Divisores de 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12
Divisores de 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Podemos verificar que o maior divisor comum entre 12 e 36 é o próprio 12.
MDC(12,24,54)
Divisores de 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18
Divisores de 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Divisores de 54 = 1, 2, 3, 6, 18, 27, 54
O maior divisor comum a 12, 24 e 54 é o 6.
Processo prático para a obtenção do máximo divisor comum
MDC(12,36)
Os números destacados na fatoração estão dividindo os dois números ao mesmo tempo, então devemos realizar uma multiplicação entre eles para descobrirmos o máximo divisor comum.
2 x 2 x 3 = 12
MDC(12,36) = 12
MDC(70,90,120)
O máximo divisor comum a 70, 90 e 120 = 2 x 5 = 10
Mínimo Múltiplo Comum (mmc)
mmc(x,y,z,...)=x?y?z?...mdc(x,y,z,...)
Fonte: www.mundoeducacao.com
www.profcardy.com/
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Vestibular
M.m.c e m.d.c questões vestibular
Artigo com questões de vestibular resolvidas e propostas sobre m.m.c e m.d.c
1) Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendedores. A área administrativa é composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendedores com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo número de funcionários com o maior número possível. Determine quantos funcionários devem participar de cada equipe e o número possível de equipes.
Encontrar o MDC entre os números 48, 36 e 30.
Decomposição em fatores primos
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3
36 = 2 * 2 * 3 * 3
30 = 2 * 3 * 5
MDC (30, 36, 48) = 2 * 3 = 6
Determinando o número total de equipes:
48 + 36 + 30 = 114 ? 114 : 6 = 19 equipes
O número de equipes será igual a 19, com 6 participantes cada uma.
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3
36 = 2 * 2 * 3 * 3
30 = 2 * 3 * 5
MDC (30, 36, 48) = 2 * 3 = 6
Determinando o número total de equipes:
48 + 36 + 30 = 114 ? 114 : 6 = 19 equipes
O número de equipes será igual a 19, com 6 participantes cada uma.
2) (PUC?SP) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas receberão manutenção no mesmo dia.
Temos que determinar o MMC entre os números 3, 4 e 6.
MMC (3, 4, 6) = 2 * 2 * 3 = 12
Concluímos que após 12 dias, a manutenção será feita nas três máquinas. Portanto, dia 14 de dezembro.
3) Um médico, ao prescrever uma receita, determina que três medicamentos sejam ingeridos pelo paciente de acordo com a seguinte escala de horários: remédio A, de 2 em 2 horas, remédio B, de 3 em 3 horas e remédio C, de 6 em 6 horas. Caso o paciente utilize os três remédios às 8 horas da manhã, qual será o próximo horário de ingestão dos mesmos?
Calcular o MMC dos números 2, 3 e 6.
Calcular o MMC dos números 2, 3 e 6.
O mínimo múltiplo comum dos números 2, 3, 6 é igual a 6.
De 6 em 6 horas os três remédios serão ingeridos juntos. Portanto, o próximo horário será às 14 horas.
4) Se x e y são números naturais em que m.m.c(y, x) = 115 e m.d.c(y, x) = 214, podemos dizer que o resto da divisão de xy por 23 é:
(A) é um número primo
(B) é um número par
(C) é maior que 100
(D) é 214
(E) é 115
5) Se x e y são números naturais em que m.m.c(y, x) = 154 e m.d.c(y, x) = 2, podemos dizer que xy:
(A) é um número primo
(B) é um número ímpar
(C) é maior que 500
(D) é divisível por 11
(E) é múltiplo de 15
6) Se x é um número natural em que m.m.c(140, x) = 2.100 e m.d.c(140, x) = 10, podemos dizer que x:
(A) é um número primo
(B) é um número par
(C) é maior que 150
(D) é divisível por 11
(E) é múltiplo de 14
7) Um ciclista dá uma volta em torno de um percurso em 1,2 minutos. Já outro ciclista completa o mesmo percurso em 1,6 minutos. Se ambos saem juntos do ponto inicial de quantos em quantos segundos se encontrarão no mesmo ponto de partida?
(A) 120
(B) 240
(C) 280
(D) 288
(E) 360
8) Um corredor dá uma volta em torno de um percurso em 12 minutos. Já outro corredor completa o mesmo percurso em 14 minutos. Se ambos saem juntos do ponto inicial de quantos em quantos minutos se encontrarão no mesmo ponto de partida?
9) Se o mdc (máximo divisor comum) entre dois números naturais é 1 e o produto entre eles é 14, então o mmc (mínimo múltiplo comum) entre os dois números naturais é
(A) 14
(B) 140
(C) 1.400
(D) 1
(E) 0
10) Se o mmc entre dois números naturais é 2.450 e o produto entre eles é 306.250, então o mdc entre os dois números naturais é
11) Se o mmc entre dois números naturais é 15 e o mdc entre os mesmos é também 15, então o produtos entre os dois números naturais é:
(A) 340
(B) 490
(C) 280
(D) 150
(E) 225
12) Um tanque tem 210 litros e outro tanque tem 475 litros. Qual seria a capacidade máxima, em litros, de um balde (totalmente cheio) que pudesse completar o volume dos dois tanques?
(A) 1 L
(B) 2 L
(C) 3 L
(D) 5 L
(E) 15 L
13) Obter o máximo divisor comum entre os números 21 e 49
(A) 7
(B) 49
(C) 147
(D) 12
(E) 14
14) Obter o mínimo múltiplo comum entre os números 250 e 450
(A) 2.000
(B) 2.150
(C) 2.250
(D) 2.500
(E) 4.500
Gabarito:
4) B 5) D 6) B 7) D 8) E 9) A 10) C 11) E 12) D 13) A 14) C
Máximo divisor comum (mdc)
Para estudarmos o máximo divisor comum entre dois termos, precisamos saber o que é divisor de um número. Todo número natural possui divisores, isto é, se ao dividirmos um número A pelo número B e obtermos resto zero podemos afirmar que B é divisor de A. Por exemplo:
16 : 2 é igual a 8 e resto 0.
25 : 5 é igual a 5 e resto 0.
Podemos concluir que 2 e 5 são divisores de 16 e 25 respectivamente.
Exemplos de divisores de um número:
Divisores de:
32 = 1, 2, 4, 8, 16, 32
15 = 1, 3, 5, 15
45 = 1, 3, 5, 9, 15, 45
O MDC entre dois ou mais números é o maior divisor comum a eles.
Exemplos:
MDC(12,36)
Divisores de 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12
Divisores de 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Podemos verificar que o maior divisor comum entre 12 e 36 é o próprio 12.
MDC(12,24,54)
Divisores de 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18
Divisores de 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Divisores de 54 = 1, 2, 3, 6, 18, 27, 54
O maior divisor comum a 12, 24 e 54 é o 6.
Processo prático para a obtenção do máximo divisor comum
MDC(12,36)
Os números destacados na fatoração estão dividindo os dois números ao mesmo tempo, então devemos realizar uma multiplicação entre eles para descobrirmos o máximo divisor comum.
2 x 2 x 3 = 12
MDC(12,36) = 12
MDC(70,90,120)
O máximo divisor comum a 70, 90 e 120 = 2 x 5 = 10
Mínimo Múltiplo Comum (mmc)
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais é o menor múltiplo comum a todos estes números.
Denotamos o mínimo multiplo comum dos números {a, b, c, ...} por mmc(a, b, c, ...).
Em um procedimento mais rústico, para se obter o mínimo múltiplo comum entre dois ou mais números naturais, fazemos uma listagem de seus primeiros múltiplos até encontrar o menor comum.
 | Exemplo ? Obter mmc(10, 12, 15). |
10: {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, ... } 12: {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, .... } 15: {15, 30, 45, 60, 75, 90, ...} Portanto, mmc(10, 12, 15) = 60. |
Cardica
Cuidado: Apenas números naturais têm m.m.c.
Outro modo de se determinar o mmc entre dois ou mais números naturais é fatorar cada um deles.
Basta multiplicar todos os fatores comuns, sendo que a quantidade de vezes que cada fator vai comparecer é a mesma que o maior comparecimento em pelo menos uma ocasião dos números fatorados.
| Exemplo ? Obter mmc(24, 36). | |||||||||||||||
24 = 2 · 2 · 2 · 3 36 = 2 · 2 · 3 · 3 Veja quais são os fatores envolvidos: do 'tipo' {2} e do 'tipo' {3}. Quantas vezes cada 'tipo' de fator compareceu no 24 e no 36:
O mmc(24,36) será o produto de todos os fatores envolvidos, na maior quantidade envolvida (em pelo menos uma das fatorações). Ou seja:
Portanto, mmc(24, 36) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 72 |
| Exemplo ? Obter mmc(30, 56, 70). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
30 = 2 · 3 · 5 56 = 2 · 2 · 2 · 7 70 = 2 · 5 · 7 Veja quais são os fatores envolvidos: do 'tipo' {2}, do 'tipo' {3}, do 'tipo' {5} e do 'tipo' {7}. Quantas vezes cada 'tipo' de fator compareceu no 24 e no 36:
O mmc(30, 56, 70) será o produto de todos os fatores envolvidos, na maior quantidade envolvida (em pelo menos uma das fatorações). Ou seja:
Portanto, mmc(30, 56, 70) = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7 = 840 |
Eventualmente, o mdc (máximo divisor comum) é mais fácil de ser obtido que o mmc (mínimo múltiplo comum) e podemos usar esta relação válida entre mdc e mmc de números naturais:
| Exemplo ? Obter mmc(24, 36). |
24 = 2 · 2 · 2 · 3 36 = 2 · 2 · 3 · 3 Temos que mdc(24, 36) = 12 (ver m.d.c.) Assim, mmc(24, 36) = 24 · 36 : mdc(24, 36) mmc(24, 36) = 24 · 36 : 12 mmc(24, 36) = 24 · 36 : 12 = 72 |
| Exemplo ? Obter mmc(1024, 7). |
Temos que mdc(1024, 7) = 1 (ver m.d.c.) pois são primos entre si. Vai ficar bem mais rápido usar: Assim, |
Cardica
Quando dois ou mais números naturais são primos entre si (isso significa que o mdc entre eles é 1), o mmc entre eles será o resultado da multiplicação simples entre eles.
Exemplos:
mmc(6, 35) = 6 · 35 = 210.
mmc(14, 45) = 14 ·45 = 630.
mmc(8, 27, 25) = 8 · 27 · 25 = 5400.
Fonte: www.mundoeducacao.com
www.profcardy.com/
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Adição e subtração de polinômios O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes e jogo de sinal. Observe os exemplos:...
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Conjunto dos números inteiros Pertencem ao conjunto dos números inteiros, os números negativos e também o Conjunto dos Números Naturais. Os números positivos são opostos aos números negativos e os negativos opostos aos positivos. Sua...
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Artigo sobre números complexos com exercícios e teoria: propriedades do conjugado, operações, conjugado e potência de um número complexo. PROPRIEDADES Definição: O conjugado de um complexo Ex: Propriedade 1: A soma...
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