Vestibular
Considere um ponto P(xo, yo) e uma reta s de equação s: ax + by + c = 0.
Existem várias distâncias entre o ponto P e a reta s, assim como existem vários caminhos até um destino. Mas para nós interessa somente a menor distância.
A distância entre P e t é dada pela fórmula:
questões sobre Distância entre ponto e reta
2) A distância do ponto P(1. Y) até a reta s: x + y = 0 é de ?2/2. Determine o valor de y.
Solução:
Da equação da reta s, obtemos: a = 1, b = 1 e c = 0.
Segue que:
Portanto, o ponto P pode ter coordenadas (1, 0) ou (1, ? 2)
3) (Cesgranrio-RJ) O ponto A(?1, ?2) é um vértice de um triângulo equilátero ABC, cujo lado BC está sobre a reta de equação x + 2y ? 5 = 0. Determine a medida h da altura desse triângulo.
Solução:
4) (Fuvest-SP) Calcule a distância entre a reta r1, de equação 3y = 4x ? 2, e a reta r2, de equação 3y = 4x + 8, sabendo que r1//r2.
Solução:
a) Qual é a equação geral da reta AB?
Os pontos A(1,3) e B(5,0) pertencem à reta AB e com eles podemos encontrar o coeficiente angular dessa reta e aplicá-lo na equação fundamental.
mAB = 0 ? 3 = - 3 5 ? 1 4
y ? y0 = m (x ? x0)
y ? 0 = -3/4 (x ? 5)
y = -3/4x + 15/4
4y = - 3x + 15
4
3x + 4y ? 15 = 0
b) Calcule a medida da altura relativa ao vértice C.
Nesse caso iremos calcular a distância do ponto C à reta AB. Substituindo os valores 0 = x 0; 5 = y0; a = 3; b = 4; c = -15 na fórmula: 
.
d = |20 ? 15|
?25
d = 5 = 1
5
Posições relativas de uma reta e um plano
Considerando um plano e uma reta, temos as seguintes posições relativas possíveis:
a) A reta não tem ponto em comum com o plano. Dizemos então que a reta é paralela ao plano.
b) A reta tem um único ponto em comum com o plano. Dizemos então que a reta é concorrente com plano.
c) A reta tem dois pontos em comum com o plano Dizemos então que a reta está contida no plano.
As afirmações abaixo são todas verdadeiras. Interprete cada uma delas, utilizando, se necessário, o material da sua caixa de ferramentas.
a) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela ou reversa a qualquer reta do plano.
b) Se uma reta não está contida em um plano e é paralela a uma reta do plano, então ela é paralela ao plano.
- Equação Geral E Reduzida Da Reta - Resumo (com Questões)
Equação geral da reta Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de alinhamento de três pontos. Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) pontos conhecidos e distintos...
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Determinação de um plano É possível determinar um plano de quatro maneiras. Vejamos: 1º caso: Três pontos não-colineares determinam um ponto. Se A, B e C são pontos não-colineares, então... existe só um plano tal que: A ? , B ? ...
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Vestibular
Distância entre ponto e reta questões vestibular
Artigo sobre distância entre ponto e reta com questões de vestibulares resolvidas.
Distância entre ponto e reta
Vamos realizar o estudo analítico da distância entre um ponto e uma reta no plano cartesiano.
Considere um ponto P(xo, yo) e uma reta s de equação s: ax + by + c = 0.
A distância entre P e t é dada pela fórmula:
Onde, a, b e c são os coeficientes da equação da reta s e xo e yo são as coordenadas do ponto P.
questões sobre Distância entre ponto e reta
1) Determine a que distância está o ponto A(? 2, 3) da reta t: 4x + 3y ? 2 = 0.
Solução: Da equação da reta t, obtemos: a = 4, b = 3 e c = ? 2.
Segue que:
Solução: Da equação da reta t, obtemos: a = 4, b = 3 e c = ? 2.
Segue que:
2) A distância do ponto P(1. Y) até a reta s: x + y = 0 é de ?2/2. Determine o valor de y.
Solução:
Da equação da reta s, obtemos: a = 1, b = 1 e c = 0.
Segue que:
Portanto, o ponto P pode ter coordenadas (1, 0) ou (1, ? 2)
3) (Cesgranrio-RJ) O ponto A(?1, ?2) é um vértice de um triângulo equilátero ABC, cujo lado BC está sobre a reta de equação x + 2y ? 5 = 0. Determine a medida h da altura desse triângulo.
Solução:
4) (Fuvest-SP) Calcule a distância entre a reta r1, de equação 3y = 4x ? 2, e a reta r2, de equação 3y = 4x + 8, sabendo que r1//r2.
Solução:
5) Sabendo que os vértices de um triângulo são A(1,3), B(5,0) e C(0,5), responda:
a) Qual é a equação geral da reta AB?
mAB = 0 ? 3 = - 3 5 ? 1 4
y ? y0 = m (x ? x0)
y ? 0 = -3/4 (x ? 5)
y = -3/4x + 15/4
4y = - 3x + 15
4
3x + 4y ? 15 = 0
b) Calcule a medida da altura relativa ao vértice C.
. d = |20 ? 15|
?25
d = 5 = 1
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Considerando um plano e uma reta, temos as seguintes posições relativas possíveis:
a) A reta não tem ponto em comum com o plano. Dizemos então que a reta é paralela ao plano.
b) A reta tem um único ponto em comum com o plano. Dizemos então que a reta é concorrente com plano.
c) A reta tem dois pontos em comum com o plano Dizemos então que a reta está contida no plano.
As afirmações abaixo são todas verdadeiras. Interprete cada uma delas, utilizando, se necessário, o material da sua caixa de ferramentas.
a) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela ou reversa a qualquer reta do plano.
b) Se uma reta não está contida em um plano e é paralela a uma reta do plano, então ela é paralela ao plano.
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Equação geral da reta Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de alinhamento de três pontos. Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) pontos conhecidos e distintos...
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