Vestibular

Determinantes (regra de Saurus, cofator)

Inicialmente, iremos introduzir algumas regras que permitam o cálculo de determinantes nos casos particulares da matriz quadrada de ordem 1, 2 ou 3 e, a seguir, após o domínio dessas regras, apresentaremos uma definição geral para determinantes de uma matriz quadrada de ordem n.

Determinante de uma matriz quadrada de 1ª ordem

O determinante da matriz A = | a11|, indicado por det A ou |a11|, é o próprio elemento a11, ou seja:
det A = |a11| = a11 (não confundir com o módulo do número a11).
Exs: Se A = [-3], então det A = |-3|.
Se B = [6], então det A = |6| = 6

Determinante de uma matriz quadrada de 2ª ordem

O determinante da matriz

é igual à diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

Veja o exemplo abaixo:

Determinante de uma matriz de 3ª ordem

O cálculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 pode ser calculado usando a regra de Saurus, que consiste no seguinte:

copia-se o determinante repetindo-se as duas primeiras colunas;
multiplicam-se os elementos ligados por "traços vermelhos", mantendo-se o sinal de cada produto;
multiplicam-se os elementos ligados por "traços azuis", trocando-se o sinal de cada produto;
somam-se os resultados obtidos.

Diagonal principal
(a₁₁ * a₂₂ * a₃₃) + (a₁₂ * a₂₃ * a₃₁) + (a₁₃ * a₂₁ * a₃₂)

Diagonal secundária
(a₁₃ * a₂₂ * a₃₁) + (a₁₁ * a₂₃ * a₃₂) + (a₁₂ * a₂₁ * a₃₃)

Determinante
D = {(a₁₁ * a₂₂ * a₃₃) + (a₁₂ * a₂₃ * a₃₁) + (a₁₃ * a₂₁ * a₃₂)} ? {(a₁₃ * a₂₂ * a₃₁) + (a₁₁ * a₂₃ * a₃₂) + (a₁₂ * a₂₁* a₃₃)}

Exemplo :

Dada a matriz

, calcule o seu determinante.

Diagonais principais
(?1) * 0 * (?1) = 0
(?5) * 6 * (?4) = 120
(?7) * (8) * (5) = ? 280

0 + 120 + (?280)
120 ? 280
? 160

Diagonais secundárias
(?7) * 0 * (?4) = 0
(?1) * 6 * 5 = ? 30
(?5) * 8 * (?1) = 40

0 + (?30) + 40
?30 +40
10

Determinante
D_B = ?160 ? 10
D_B = ? 170

Matriz Cofator

consideremos uma matriz quadrada A, de ordem n(n ? 2), e um elemento aij de A. Chama-se cofator do elemento aij ao produto de (-1)^i+j pelo determinante da matriz obtida, quando se elimina em A a linha i e a coluna j.

Exemplo:

Sendo

, vamos calcular os cofatores A₂₂, A₂₃ e A₃₁:

Veja também:

Determinantes: propriedades e Teorema de LaPlace

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matrizes exercícios - matemática vestibular

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