Grandezas escalares e vetoriais
Algumas grandezas físicas exigem, para sua perfeita caracterização, apenas uma intensidade.
Essas grandezas são denominadas grandezas escalares. Assim, grandezas físicas, como massa, comprimento, tempo, temperatura, densidade e muitas outras, são classificadas como grandezas escalares.
Por outro lado, existem grandezas físicas que, para sua perfeita caracterização, exigem, além da intensidade, uma orientação espacial (direção e sentido).
Tais grandezas recebem o nome de grandezas vetoriais. Como exemplo de grandezas vetoriais, podemos citar: força, impulso, quantidade de movimento, velocidade, aceleração e muitas outras.
As grandezas vetoriais são representadas por um ente matemático denominado vetor.
Um vetor reúne, em si, o módulo, representando o valor numérico ou intensidade da grandeza, e a direção e sentido, representando a orientação da grandeza.
É importante salientarmos as diferenças entre direção e sentido: um conjunto de retas paralelas tem a mesma direção.
e, a cada direção, podemos associar uma orientação.
A figura abaixo representa uma grandeza vetorial qualquer: um segmento de reta orientado (direção e sentido) com uma determinada medida (módulo).
Para indicar um vetor, podemos usar qualquer uma das formas indicadas abaixo:
Para indicarmos o módulo de um vetor, podemos usar qualquer uma das seguintes notações:
Assim,
indica o vetor e a indica o módulo do vetor. Vetor Oposto
O vetor oposto é aquele que possui o mesmo módulo, a mesma direção e o sentido oposto. Veja a seguir um exemplo com o vetor e o seu respectivo oposto.
VETOR UNITÁRIO (VERSOR)
Chamaremos de VERSOR ou VETOR UNITÁRIO , ao vetor cujo módulo seja igual à unidade, ou seja:
| u | = u = 1.
| u | = u = 1.
O VETOR NULO
Vetor de módulo igual a zero, de direção e sentido indeterminados.
Notação: 0
Notação: 0
Decomposição de vetores no plano
Quando nos referimos a grandezas escalares não temos a necessidade de fazer uso de uma palavra específica para expressar sua medida, basta expressar a própria medida, como, por exemplo: a massa de um corpo é 2 kg, o comprimento da pista é 5 km etc. Mas quando estamos trabalhando com grandezas vetoriais esse procedimento deixa de ser correto, pois a expressão da medida só dá uma parcela da informação, por exemplo: dizer que a força aplicada a um corpo é 4 N não indica a direção e o sentido da força.
Por esse motivo, em grandezas vetoriais, o correto é dizer: o módulo da força aplicada a um corpo é 4 N. Em outras situações que abordam grandezas vetoriais, temos que realizar a soma ou a subtração de vetores na mesma direção. Um caso bem interessante e que merece bastante atenção é a soma de grandezas vetoriais com vetores dispostos perpendicularmente entre si.
Quando você se deparar com uma situação onde há a necessidade de realizar a soma ou a subtração de vetores perpendiculares entre si, o melhor que você deve fazer é trabalhar com a decomposição de vetores.
Na soma de dois vetores, podemos encontrar apenas um único vetor, ou seja, o vetor resultante, que nada mais é do que um vetor que equivale a esses dois vetores. Na decomposição de vetores, o processo é inverso. Dado um vetor 
, podemos encontrar outros dois vetores 
e 
tal que 
. Vejamos a figura abaixo:
, podemos encontrar outros dois vetores e tal que . Vejamos a figura abaixo:
Nesse caso, como e 
são vetores perpendiculares entre si, a decomposição é ortogonal. Veja a figura abaixo:
e são vetores perpendiculares entre si, a decomposição é ortogonal. Veja a figura abaixo:
Na figura acima podemos deslocar o vetor 
para a extremidade do vetor de modo que o vetor e seus vetores componentes ortogonais e formem um triângulo retângulo.
para a extremidade do vetor de modo que o vetor e seus vetores componentes ortogonais e formem um triângulo retângulo.Com base na relação trigonométrica aplicada a um triângulo retângulo, podemos determinar o módulo dos componentes horizontal e vertical do vetor em função do ângulo ?. Dessa forma, do triângulo amarelo acima temos:
em função do ângulo ?. Dessa forma, do triângulo amarelo acima temos:A expressão do módulo do componente horizontal
A expressão do módulo do componente vertical
Finalmente, como o triângulo formado por e seus componentes é um triângulo retângulo, aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
e seus componentes é um triângulo retângulo, aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
que é a relação entre o módulo do vetor e o módulo de seus componentes ortogonais.
Operações com vetores
Operações com vetores
Adição de vetores
Na adição de vetores, cada par de vetores u e v corresponderá um vetor u+v que é a soma dos vetores u e v. para adicionar dois vetores pegaremos um representante qualquer (A,B) desse vetor u e do vetor v que tem origem em B e extremidade em C. Dessa forma teremos determinada um segmento orientado (AC), que por definição representa o vetor u+v que é a soma dos vetores u e v.
- Da imagem acima concluímos que determinar o vetor u+v proveniente da soma do vetor u com o vetor v, precisamos apenas completar o triangulo, lembrando sempre de pôr a origem do vetor soma na origem do primeiro vetor, o segundo vetor deve ter a origem na extremidade do primeiro vetor.
Na adição de vetores podemos utilizar de outra ferramenta, a regra do paralelogramo. Pegamos os representantes de u e v com a mesma origem A e construímos o paralelogramo ABCD. O vetor u+v é representado pelo seguimento orientado (A,D).
Propriedades
1) Propriedade Associativa
(u+v)+w = u+(v+w) (para qualquer u,v,w pertencentes a v³)
2) Propriedade Comutativa
u+v = v+u (para qualquer u,v pertencentes a v³)
3) Elemento Neutro
u+0 = u (para qualquer u pertencentes a v³)
4) Elemento Oposto
Para um dado vetor u qualquer, existe um vetor que quando somado a ele dará como resultado um vetor nulo. Este vetor é o vetor oposto a u, denominado de ?u
u+(-u) = AB +AB = AA = 0
Observe que a subtração de vetores é simplesmente a soma de um vetor com um vetor oposto. Exemplo:
u-v = u+(-v) (para qualquer u,v pertencentes a v³)
Adição vetorial gráfica
A primeira maneira de se somar dois ou mais vetores é a forma gráfica. A regra é simples: cada vetor a ser somado é colocado de maneira que o final de um coincida com o início do próximo. O vetor resultante será obtido unindo-se o início do primeiro com o final do último.
Note no exemplo acima que o vetor 
une o início do vetor 
ao final do vetor 
une o início do vetor ao final do vetor Veja este outro exemplo:
 |
Note que a resultante 
é a soma dos vetores ou 
é a soma dos vetores ou Adição vetorial por decomposição
Veja agora este exemplo:
 |
Calcule que a soma do vetor 
com o 
, sabendo-se que o módulo de 
e 
, e que os ângulos com a horizontal são respectivamente 60° e 30°.
com o , sabendo-se que o módulo de e , e que os ângulos com a horizontal são respectivamente 60° e 30°.Primeiro se decompõe o vetor em dois vetores um vertical e outro horizontal.
em dois vetores um vertical e outro horizontal. |
Onde:
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Como a é 60° tem-se:
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O mesmo se dá para o vetor
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Agora é só somar os componentes verticais e horizontais que são respectivamente 22,3 e 18,7. O vetor resultante terá o módulo:
 |
E um ângulo com a horizontal b igual:
 |
| Regra do Polígono | |
Para efetuarmos a adição de vetores pela regra do polígono, escolhemos, arbitrariamente, um dos vetores como ponto de partida e traçamos os vetores seguintes, colocando a origem do 2º vetor coincidindo com a extremidade do 1º e, assim, sucessivamente, até traçarmos todos os vetores. O vetor soma
ou resultante 
é determinado pela origem do 1º vetor e pela extremidade do último vetor traçado.Exemplo:
Obter, pelo método do polígono, a resultante das forças F1 = F2 = 100 N
Resolução
Construindo o polígono, obtemos um triângulo equilátero portanto o resultante tem intensidade igual à das forças componentes.
Subtração de Vetores
Produto escalar Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d) definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como o número real obtido por: u.v = a.c + b.d Exemplos: O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é: u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14 O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é: u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19 Propriedades do produto escalar Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar:  |
, a operação 
é realizada através da adição do vetor 
+ 
= 180°, então cos 
obtido terá sentido apontado para o vetor que se lê primeiro na expressão 
e 
têm mesmo sentido
| Método das Componentes Vetoriais | |
Todo vetor
, em um plano, pode ser representado por dois outros vetores, chamados de componentes retangulares.Dado um vetor
e duas direções de referência OX e OY, determinamos as componentes retangulares do vetor através das projeções perpendiculares da origem e da extremidade do vetor nas direções dadas, conforme figura a seguir.
O vetor
pode ser representado pelas suas componentes retangulares x e y, sendo válida a relação
Para determinarmos os módulos das componentes x ey, devemos usar as relações trigonométricas no triângulo retângulo.
x ey, devemos usar as relações trigonométricas no triângulo retângulo.
|
, um vetor com origem no ponto 0 (referencial) e extremidade no ponto P. Esse vetor r recebe o nome de vetor posição.
dado por
, que representa o deslocamento vetorial do móvel entre os instantes t1 e t2, é um vetor com origem em P1 (posição inicial) e extremidade em P2 (posição final).
é definido pela relação entre o vetor deslocamento 
é sempre positivo, o vetor velocidade vetorial média possui a mesma direção e o mesmo sentido que o vetor deslocamento 
t) ? É a componente da aceleração vetorial na direção do vetor velocidade ( ) e indica a variação do módulo deste. Possui módulo 
têm o mesmo sentido.
.
como vetor unitário do plano y. Caso o problema a ser resolvido seja dado em três dimensões, o vetor utilizado para o plano z é o vetor unitário 
.
no eixo x do plano cartesiano será dado por 
, e sua projeção no eixo ydo plano será: 
. Este vetor pode ser escrito como:
