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Triângulo de Pascal e suas propriedades

Nesse artigo, estudaremos o triângulo de Pascal e suas propriedades com exercícios resolvidos

O triângulo de Pascal recebeu esse nome devido ao matemático Blaise Pascal (1623-1662). O triângulo é infinito e simétrico, e seus lados esquerdo e direito sempre devem possuir o número

. Isto já era de se esperar, pois como vimos no estudo dos coeficientes binomiais,

Basta efetuar os cálculos para chegar à figura inicial:

Reparando no Triângulo de Pascal acima, notamos que o número 15 pode ser obtido se somarmos o número que está na linha imediatamente acima ( 10 ) com o vizinho da esquerda deste número

( 5 ).

Veja que este raciocínio serve para todos os números do triângulo, com exceção do primeiro e do último número de cada linha.

Propriedades do Triângulo de Pascal

O triângulo de pascal possui várias propriedades. Citaremos as seguintes:

Primeira propriedade

Em uma mesma linha dois binomiais equidistantes dos extremos são iguais. Considere, como exemplo, a sétima linha:

1 7 21 35 35 21 7 1

Segunda propriedade

A soma de dois elementos consecutivos de uma mesma linha é igual ao elemento situado abaixo do segundo elemento somado.

Vamos verificar as somas apontadas na figura:

$1 + 2 = 3 \!\;$

$1 + 7 = 8 \!\;$

$5 + 10 = 15 \!\;$

$20 + 15 = 35 \!\;$

$21 + 7 = 28 \!\;$

Observe que esta propriedade é a própria relação de Stifel.

Terceira propriedade

A soma dos elementos da linha de de numerador n é igual a 2n (2 elevado a n).

vejamos:

1 ? soma = 2⁰=1

1 1 ? soma = 2¹ = 2

1 2 1 ? soma = 2² = 4

1 3 3 1 ? soma = 2³ = 8

1 4 6 4 1 ? soma = 2⁴ = 16

1 5 10 10 5 1 ? soma = 2⁵ = 32

1 6 15 20 15 6 1 ? soma = 2⁶ = 64

Vamos resolver os seguintes exercícios, aplicando as propriedades do triângulo de Pascal.

Exemplo 1:

Sendo 1 a 21 35 b c 7 1 uma linha do triângulo de Pascal, determinar a, b e c:

Solução:

1 a 21 35 b c 7 1

Pela 1ª propriedade, temos a = 7, b = 35 e c = 21.

Exemplo 2:

Sendo:

1 7 21 b 35 21 e 1

1 8 a 56 c d 28 8 1

duas linhas consecutivas do triângulo de Pascal, vamos determinar a, b, c, d, e.

De acordo com a 2ª propriedade, temos:

a = 7 + 21 = 28

21 + b = 56 ? b = 35

b + 35 = c ? c = 70

d = 35 + 21 = 56

21 + e = 28 ? e = 7

Calcular a soma:

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