Vestibular
Nesse artigo, vamos ver conceito e exemplos resolvidos de probabilidade condicional.
A probabilidade condicional é a probabilidade de ocorrência de um evento A, sabendo da ocorrência de outro evento B, ambos sendo eventos de um espaço amostral S finito. A ocorrência de A está condicionada ao fato de B já ter ocorrido, ou seja, a ocorrência do evento B interfere na do evento A.
Exemplo:
Em uma pesquisa realizada com 10.000 consumidores sobre a preferência da marca de sabão em pó, verificou-se que: 6500 utilizam a marca X; 5500 utilizam a marca Y; 2000 utilizam as duas marcas. Foi sorteada uma pessoa desse grupo e verificou-se que ela utiliza a marca X. Qual a probabilidade dessa pessoa ser também usuária da marca Y?
Solução: Vamos identificar cada um dos eventos.
A: Usuário da marca Y.
B: Usuário da marca X.
Queremos determinar P(A|B) e sabemos que o número de elementos do espaço amostral é n(S) = 10000.
Temos, também, que:
n(A?B) = 2000
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Vestibular
Probabilidade condicional exemplos e conceito
Nesse artigo, vamos ver conceito e exemplos resolvidos de probabilidade condicional.
A probabilidade condicional é a probabilidade de ocorrência de um evento A, sabendo da ocorrência de outro evento B, ambos sendo eventos de um espaço amostral S finito. A ocorrência de A está condicionada ao fato de B já ter ocorrido, ou seja, a ocorrência do evento B interfere na do evento A.
A probabilidade de ocorrência de um evento A em relação a um evento ocorrido B é expressa como:
Para calculá-la podemos nos utilizar da fórmula:
Sabemos que 
, a probabilidade da intersecção, é a razão do seu número de elementos, para o número de elementos do espaço amostral:
A probabilidade de B também é a razão do seu número de elementos, para o número de elementos do espaço amostral:
Os substituindo na fórmula original temos:
Solução: Vamos identificar cada um dos eventos.
A: Usuário da marca Y.
B: Usuário da marca X.
Queremos determinar P(A|B) e sabemos que o número de elementos do espaço amostral é n(S) = 10000.
Temos, também, que:
n(A?B) = 2000
Segue que:
Mas
Da teoria de conjunto, temos que:
n(B) = 6500 ? n(A?B) = 6500 ? 2000 = 4500
Assim, teremos:
n(B) = 6500 ? n(A?B) = 6500 ? 2000 = 4500
Assim, teremos:
Logo,
Observação: caso A e B sejam eventos independentes, a fórmula fica assim:
p(A ? B) = p(A) . p(B)
A relação acima pode ser generalizada para mais de dois eventos independentes.
Inversamente, caso p(A) . p(B) = p(A ? B), os eventos A e B são independentes.
A questão seguinte, adaptada da Fuvest, é um exemplo dessa situação:
Exemplo 1:
Considere o experimento que consiste no lançamento de um dado perfeito (todas as seis faces tem probabilidades iguais). Com relação a esse experimento, considere os seguintes eventos:
A: O resultado do lançamento é par.
A relação acima pode ser generalizada para mais de dois eventos independentes.
Inversamente, caso p(A) . p(B) = p(A ? B), os eventos A e B são independentes.
A questão seguinte, adaptada da Fuvest, é um exemplo dessa situação:
Exemplo 1:
Considere o experimento que consiste no lançamento de um dado perfeito (todas as seis faces tem probabilidades iguais). Com relação a esse experimento, considere os seguintes eventos:
A: O resultado do lançamento é par.
B: O resultado do lançamento é estritamente maior do que 4.
C: O resultado é múltiplo de 3.
a) A e B são eventos independentes?
Solução:
p(A) = 3/6 = 1/2, p(B) = 2/6 = 1/3 e p(A ? B) = 1/6
Como p(A) . p(B) = 1/2 . 1/3 = 1/6 e esse valor é igual a p(A ? B), concluímos que A e B são eventos independentes.
b) B e C são eventos independentes?
Solução:
p(B) = 2/6 = 1/3, P(C) = 2/6 = 1/3 e p(B ? C) = 1/6
Como p(B) . p(C) = 1/3 . 1/3 = 1/9 e esse valor é diferente de p(B ? C), concluímos que B e C não são eventos independentes.
Exemplo 2:
Um dado é lançado três vezes, calcule a probabilidade de que o número 3 ocorra somente no primeiro e no terceiro lançamentos.
Solução:
Temos três eventos independentes, pois o fato de sair um determinado número num dos lançamentos não influi em nada no que possa ocorrer no lançamento seguinte.
- no primeiro lançamento deve ocorrer o número 3. A probabilidade de isso ocorrer é dada por:
P1 = 1/6
- no segundo lançamento deve ocorrer um dos números: 1, ou 2, ou 4, ou 5, ou 6. A probabilidade de isso ocorrer é dado por:
P2 = 5/6
- no terceiro lançamento deve ocorrer o número 3. A probabilidade de isso acontecer é dada por:
P3 = 1/6
Então, a probabilidade de sair o número 3 somente no primeiro e no terceiro lançamentos é dada por:
p = p1 . p2 . p3 = 1/6 . 5/6 . 1/6 = 5/256
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