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implicações e equivalências lógicas exercícios

Artigo sobre implicações e equivalências lógicas com exercícios para uma melhor compreensão do assunto.

Uma proposição P implica na proposição Q se e somente se a tabela verdade de P ® Q for uma uma tautologia.

O símbolo P ? Q (P implica Q) representa a implicação lógica.

A implicação lógica goza das seguintes propriedades:

P1 ? Reflexiva. Isto é P Þ P.
P2 ? Transitividade. Isto é P Þ Q e Q Þ S então P Þ S. A transitividade pode ser estendida a qualquer série de proposições: P Þ R e R Þ S e S Þ ...Þ X então P Þ X.

Estão abaixo as implicações lógicas fundamentais:
p => p v q
p ^ q => p
(p v q) ^ ~p => q
(p ? q) ^ p => q     (Modus ponens)
(p ? q) ^ ~q => ~p (Modus tollens)
(p ? q) ^ (q ? r) => p ? r (Silogismo hipotético)
p ? q => p ?q
p ? q => q ?p
(p?q) ^ p => q

As implicações que estão destacadas em vermelho são as mais importantes regras de inferência, e as que mais aparecem em questões de concurso. No mais, apenas grave: a implicação (=>) para fins de cálculo lógico, corresponde a condicional (?).

Equivalência lógica

Há equivalência entre as proposições P e Q quando tiverem a mesma tabela-verdade ou  quando a bicondicional P ? Q for uma tautologia. P ? Q (P é equivalente a Q) é o símbolo que representa a equivalência lógica.

Para exemplificar, tomemos as seguintes proposições (p ? q) ? (~q ? ~p) criando suas tabelas-verdades.

Portanto, p ? q é equivalente a ~q ? ~p, pois estas proposições possuem a mesma tabela-verdade ou a bicondicional (p ? q) ? (~q ? ~p) é uma tautologia.

Equivalências lógicas válidas:

~~p <=> p (dupla negação)

~p ? p <=> p (Clavius)

p ?q <=> ~p v q

p ? q <=> (p ? q) ^ (q ?p)

p ? q <=> (p ^ q) v (~p ^ ~q)

p ? q <=> ~q ? ~p

p ? p ^ q <=> p ? q (absorção)

p ^ ~q ? c <=> p ? q

p ^ q ? r <=> p ? (q ? r) (exportação-importação)

Destacadas em vermelho, as equivalências lógicas mais usadas em resoluções de questões.

Uma diferença importantíssima entre a implicação e equivalência reside no fato de que, na implicação, só há o caminho de ida, não existe o de volta. Ou melhor, toda equivalência é uma implicação lógica por natureza. Diferentemente, a implicação não se trata necessariamente de uma equivalência lógica. Podemos então dizer que toda equivalência é uma implicação lógica, mas nem toda implicação é uma equivalência lógica. Assim:

p ^ q => p (certo)
O caminho de volta pode estar errado se desejado:
p => p ^ q (errado)

Na equivalência, pode-se ir e vir entre duas proposições. Temos:
(~p v q) <=> (p ? q)
O caminho de volta seria perfeitamente válido:
(~p v q) <=> (p ? q)

Em outras palavras:dizer que p ^ q <=> p é a mesma coisa que afirmar que p ^ q => p. Porém p ^ q => p
não é a mesma coisa de dizer que p <=> p ^ q

Exercícios

1) (FCC TCE-MG 2007) São dadas as seguintes proposições:

I. Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas, então ele é eficiente.
II. Se Jaime não trabalha no Tribunal de Contas, então ele não é eficiente.
III. Não é verdade que Jaime trabalha no Tribunal de Contas e não é eficiente.
IV. Jaime é eficiente ou não trabalha no Tribunal de Contas.

É correto afirmar que são logicamente equivalentes apenas as proposições de números:
a) 2 e 4
b) 2 e 3
c) 2, 3 e 4
d) 1, 2 e 3
e) 1, 3 e 4 **gabarito**

------------------
resolução:

Simplificamos primeiro as proposições:
I) Trabalha --> eficiente
II) ~Trabalha --> ~eficiente
III) ~(trabalha ^ ~eficiente)
IV) eficiente v ~trabalha

Agora buscamos as equivalências lógicas.

I) Trabalha --> eficiente
é equivalente a essas duas:
~eficiente --> ~Trabalha
~trabalha v eficiente
II) ~Trabalha --> ~eficiente
é equivalente a essas duas:
eficiente --> trabalha
trabalha v ~eficiente

III) ~(trabalha ^ ~eficiente)
é equivalente a:
~trabalha v eficiente
(a negação de p ^ q é ~p v ~q)

IV) eficiente v ~trabalha
é equivalente a essas duas:
~eficiente --> ~trabalha
trabalha --> eficiente

em cores, todas as equivalências em comum.
letra E, a correta.

2. Mostrar que as proposições ?x = 1 v x ³ 3? e ?~(x < 3 ^ x = 1)? não são equivalentes.

3. Demonstre as relações abaixo utilizando as tabelas-verdade:

a) p ® q Ù r Û ( p ® q ) Ù ( p ® r )

b) p ® q Ú r Û ( p ® q ) Ú ( p ® r )

c) p Ù q ® r Û p ® ( q ® r )

d) ~( ~p ® ~q ) Û ~p Ù q

e) ~( p Ù q Ù r ) Û ~p Ú ~q Ú ~r

f) ~( p Ú q Ú r ) Û ~p Ù ~q Ù ~r

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